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A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes. Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação:  Sendo a ≠ 0, temos: a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo) Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois elevado ao cubo), tem-se: 23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8 Sendo, 2: Base Exemplos de Potenciação52: lê-se 5 elevado à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde: 5 x 5 = 25 Logo, A expressão 52 equivale a 25. 33: lê-se 3 elevado à terceira potência ou 3 ao cubo, donde: 3 x 3 x 3 = 27 Logo, A expressão 33 equivale a 27. Propriedades da Potenciação
Saiba mais sobre as propriedades da potenciação. Multiplicação e Divisão de PotênciasNa multiplicação das potências de bases iguais, mantém-se a base e soma-se os expoentes: ax . ay = ax+y Na Divisão das potências de bases iguais, mantém-se a base e subtrai-se os expoentes: (ax) / (ay) = ax-y (53) / (52) = 53-2 = 51 Quando a base está entre parênteses e há outro expoente fora (potência de potência), mantém-se a base e multiplica-se os expoentes: (ax)y = ax.y Leia também: Leitura RecomendadaA operação de potenciação com expoente natural pode ser interpretada como uma multiplicação com fatores iguais. Então seja um número real a e um número natural n, tal que n diferente de 0, a potência an é a multiplicação de a por si mesmo n vezes. Exemplos: 5 ³ = 5 . 5 . 5 = 125 20 ² = 20 . 20 = 400 (- 4,3)² = (- 4,3) . (- 4,3) = 18,49 A potência com expoente 1 é igual à própria base: a¹ = a 250 ¹ = 250 (-49 )¹ = -49 A potência que tem como base um número real não nulo e expoente zero é igual a 1: a0= 1 Observe como calcular uma potência com expoente inteiro negativo: Seja um número real a, com a diferente de 0 e um número inteiro n, temos: Considerando a como número real não nulo e m e n como números inteiros: para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes: am.an=a(m+n) Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes: am : aN=a(m-n) Para elevar uma potência a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes: (am)n = a(mn) Por Camila Garcia Graduada em Matemática Sabemos que a matemática utiliza símbolos para simplificar a escrita de muitas sentenças. A potenciação é uma forma simplificada de se escrever a multiplicação de um número por ele mesmo repetidamente. As propriedades da potenciação são recursos utilizados pela matemática para deixar mais simples algumas operações entre potências. Vamos analisar algumas dessas propriedades e verificar como elas facilitam nossas vidas. Propriedade 1. Multiplicação de potências com bases iguais. a) 72 x 73 = (7 x 7) x (7 x 7 x 7) = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 75 b) 24 x 23 x 22 = (2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) x (2 x 2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 29 Observando os dois exemplos acima, temos que: 72 x 73 = 72+3 = 75 24 x 23 x 22 = 24+3+2 = 29 Essa propriedade nos mostra que: na multiplicação de potências de bases iguais basta conservar a base da potência e somar os expoentes. Observe novamente: 35 x 38 = 35+8 = 313 Propriedade 2. Divisão de potências com bases iguais. Com os exemplos acima, pode-se verificar que: Essa propriedade nos mostra que: na divisão de potências com bases iguais basta conservar a base e diminuir os expoentes. Veja: Propriedade 3. Potência de potência Essa propriedade é chamada de potência de potência por apresentar uma base com dois ou mais expoentes. Com o exemplo acima, podemos verificar que: Essa propriedade nos mostra que: numa potência de potência devemos repetir a base e multiplicar os expoentes. Veja: Propriedade 4. Potência com expoente zero. Essa é uma propriedade muito interessante e que gera muita dúvida nas pessoas. Ela nos diz que todo número elevado a um expoente zero terá como resultado o número 1. De forma genérica seria: Vejamos mais um exemplo: Mas como podemos chegar a essa conclusão? Por que todo número elevado a zero é igual a 1? Veja como é simples a explicação disso. Vamos fazer a divisão entre os números abaixo: Mas como todo número dividido por ele mesmo resulta 1, temos que: Com as duas igualdades, podemos concluir que: Utilizando esse procedimento mostra-se que qualquer número, diferente de zero, elevado ao expoente zero resulta 1. Por Marcelo Rigonatto Matemático Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto: A potenciação é uma operação matemática que representa a multiplicação sucessiva de um número por ele mesmo. Ao multiplicar o 3 por ele mesmo 4 vezes, isso pode ser representado pela potência 3 elevada a 4: 34. Essa operação possui propriedades importantes que facilitam o cálculo das potências. Assim como a multiplicação possui a divisão como operação inversa, a potenciação possui a radiciação como operação inversa. Cada elemento da potenciação recebe um nome específico: an = b a → base n→ expoente b→ potência Leia também: Potenciação e radiciação de frações Como ler uma potência?Saber ler uma potência é uma tarefa importante. A leitura é sempre feita começando pelo número que está na base elevado ao número que está no expoente, como nos exemplos a seguir: Exemplos: a) 4³ → Quatro elevado a três, ou quatro elevado à terceira potência, ou quatro elevado ao cubo. b) 34 → Três elevado a quatro, ou três elevado à quarta potência. c) (-2)¹ → Menos dois elevado a um, ou menos dois elevado à primeira potência. d) 8² → Oito elevado a dois, ou oito elevado à segunda potência, ou oito elevado ao quadrado. As potências de expoente 2 podem ser chamadas também de potências elevadas ao quadrado, e as potências de grau 3 podem ser chamadas de potências elevadas ao cubo, como nos exemplos anteriores. Cálculo de potênciasPara encontrar o valor de uma potência, precisamos realizar as multiplicações como nos exemplos a seguir: a) 3²= 3 · 3 = 9 b) 5³= 5·5·5 = 125 c) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1 000 000 Existem alguns tipos específicos de potência. 1º caso – Quando a base for diferente de zero, podemos afirmar que todo número elevado a zero é igual a 1. Exemplos: a) 100=1 b) 12930=1 c) (-32)0=1 d) 80=1 2º caso - Todo número elevado a 1 é ele mesmo. Exemplos: a) 9¹ = 9 b) 12¹ = 12 c) (-213)¹= - 213 d) 0¹ = 0 3º caso - 1 elevado a qualquer potência é igual a 1. Exemplos: a) 1²¹ = 1 b) 1³ = 1 c) 1500=1 4º caso - Base de uma potenciação negativa Quando a base é negativa, separamos em dois casos: quando o expoente for ímpar, a potência será negativa; quando o expoente for par, a resposta será positiva. Exemplos: a) (-2)³ = (-2) · (-2) · (-2) = - 8 → Note que o expoente 3 é ímpar, logo a potência é negativa. b) (-2)4= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16 → Note que o expoente 4 é par, por isso a potência é positiva. Leia também: Potências com expoente negativo Potência com expoente negativoPara calcular a potência com expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do expoente. Propriedades da potenciaçãoAlém dos tipos de potenciação mostrados, a potenciação possui propriedades importantes para facilitar o cálculo de potência. → 1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma baseAo realizarmos uma multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Exemplos: a) 24· 23 = 24+3=27 b) 5³ · 55 · 52= 53+5+2 = 510 → 2ª propriedade – Divisão de potências de mesmo baseQuando encontramos uma divisão de potência de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. Exemplos: a) 37 : 35 = 37-5 = 32 b) 23 : 26 = 23-6 = 2-3 → 3ª propriedade – Potência de potênciaAo calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes. Exemplos: a) (5²)³ = 52·3 = 56 b) (35)4 = 35·4 = 3 20 → 4ª propriedade – Potência de um produtoQuando há uma multiplicação de dois números elevada a um expoente, podemos elevar cada um desses números ao expoente. Exemplos: a)(5 · 7)3 = 53 · 73 b)( 6·12)8 = 68 · 128 → 5ª propriedade – Potência do quocientePara calcular potências de um quociente ou até mesmo de uma fração, o modo de realizar é muito parecido com a quarta propriedade. Se há uma divisão elevada a um expoente, podemos calcular a potência do dividendo e do divisor separadamente. a) (8:5)³ = 8³ : 5³ Potenciação e radiciaçãoA radiciação é a operação inversa da potenciação, ou seja, ela desfaz o que foi feito pela potência. Por exemplo, ao calcularmos a raiz quadrada de 9, estamos procurando o número elevado ao quadrado que resulta em 3. Então, para entender uma delas, é fundamental que se domine a outra. Em equações, também é bastante comum o uso da radiciação para eliminar uma potência de uma incógnita, e também o contrário, ou seja, usarmos potenciação para eliminar a raiz quadrada de uma incógnita. Exemplo - Calcule o valor de x, sabendo que x³ = 8. Para calcular o valor de x, é necessário realizar a operação inversa da potenciação, ou seja, a radiciação. Na realidade, estamos buscando qual é o número que, ao ser elevado ao cubo, tem como resultado o número 8. Essa relação entre a radiciação e a potenciação torna fundamental dominar as regras de potenciação para avançar o aprendizado sobre a radiciação. Leia também: Como calcular raízes usando potências? Exercícios resolvidos1) (PUC-RIO) O maior número abaixo é: a) 331 b)810 c)168 d)816 e)2434 Resolução: Realizar a comparação calculando cada um deles seria uma tarefa difícil, então vamos simplificar as alternativas, a) 331 → já está simplificada b) 8 = 2³ → (2³)10 = 230 c) 16 = 24 → (24)8 = 232 d) 81 = 34 → (34)6 = 324 e) 243=35 → (35)4 = 320 Logo, a maior das potências é a letra A. 2) A simplificação da expressão [310: (35. 3)2]- é igual a: a)3-4 b)34 c)30 d)3² e)3-2 Resolução: [310: (35. 3)2]-2 [310: (36)2]-2 [310: 312]-2 [3-2]-2 34 Letra B. |
Usando as propriedades de potenciação como no exemplo acima qual dos números a seguir e o maior
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