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O losango é um quadrilátero (polígono de quatro lados) cuja medida de seus lados são iguais. Além disso, possui dois ângulos opostos obtusos (maiores que 90°) outros dois ângulos opostos agudos (menores que 90°). Em todo losango, as diagonais são bissetrizes (dividem os ângulos em dois outros de mesma medida) e são retas perpendiculares (formam um ângulo de 90° entre si).
Todo losango possui duas diagonais, ligando seus vértices opostos.
Quando o losango apresenta dois ângulos agudos e dois obtusos, as diagonais têm tamanhos diferentes, ou seja, há uma diagonal maior D e outra menor d.
Quando o losango apresenta seus quatro ângulos iguais (caso em que todos os ângulos possuem 90°) temos, então, um quadrado, e as suas diagonais são todas de igual comprimento.
Área de um losango
Área é o espaço interno de qualquer figura geométrica plana.
Uma das maneiras de calcular a área de um losango é multiplicando-se as suas diagonais e dividindo o resultado obtido pela metade, veja:
Onde D é a medida da diagonal maior e d a medida da diagonal menor.
Existe uma demonstração que mostra como obtemos esta fórmula.
Imagine um losango qualquer. Em seguida, vamos construir um retângulo em volta dele.
Teremos, então, um retângulo ABCD e, dentro dele, o losango EFGH, com diagonal maior EG (D) e diagonal menor HF (d).
Como se trata de um retângulo, a sua área será . Como BC = EG = D e AB = HF = d, a área será .
Observe que o retângulo ABCD está dividido em 4 retângulos menores. Em cada um desses retângulos, há duas regiões: uma correspondente ao retângulo maior e outra referente ao losango. Observe que essas duas partes são duas metades. Ou seja, se juntarmos a área de todas as partes em azul, essa área será metade da área do retângulo maior, fazendo com que a área do losango seja a outra metade do retângulo. Assim, a área do losango será metade da área do retângulo que está a sua volta, ou seja, .
Outro método para encontrar a fórmula da área
Considere o retângulo EBFK. Nele, vamos calcular a área do triângulo verde EKF.
Nesse triângulo, a base será e a altura será .
Então a área de EKF será:
A área do losango é formada por 4 áreas iguais a área do triângulo EKF, assim, vamos multiplicar o resultado encontrado por 4.
Exemplos:
Calcule a área de um losango que possui diagonal maior medindo 10cm e diagonal menor medindo 7cm:
Temos que
Aplicando a formula:
Encontre a medida da diagonal maior de um losango que apresenta área igual a 60 m², sabendo que a diagonal menor mede 6m:
Vamos aplicar a fórmula encontrada:
Referências:
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.
RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Teorema de Tales e quadriláteros. Vol. 2. São Paulo: Bernoulli.
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A área do losango é a medida equivalente à superfície desse polígono. O losango é um polígono formado por quatro lados congruentes (mesma medida). Então, o losango é um quadrilátero.
O losango é também um paralelogramo, pois seus lados opostos são paralelos. Além disso, um losango com ângulos internos retos (90°) é também um quadrado. Assim como os ângulos opostos são congruentes.
Elementos do Losango
Um losango possui os seguintes elementos:
- Lados: possui quatro lados congruentes, e os lados opostos são paralelos. Os lados são formados por segmentos de retas, também chamados de arestas, que se encontram nos vértices;
- Vértices: possui quatro vértices, os vértices são pontos onde os lados se encontram;
- Ângulos: o losango tem quatro ângulos, os ângulos opostos são congruentes. Dois ângulos são agudos (menores que 90°) e dois são obtusos (maiores que 90°). Os losangos com ângulos de 90° é conhecido como quadrado;
- Diagonais: todo losango, assim como os paralelogramos, possui duas diagonais. As diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios.
Como Calcular a Área de um Losango?
Para calcularmos a área de um losango devemos realizar o produto entre as medidas das diagonais e dividir por dois.
Ao traçarmos as diagonais, quatro triângulos retângulos são formados. Então, a área é igual a área dos quatros triângulos.
Fórmula da Área do Losango
Com a medida das diagonais em mãos, podemos calcular a área através da fórmula:
Onde:
- A: é a área do losango;
- D1: é a medida da diagonal 1;
- D1: é a medida da diagonal 2.
Diagonais do Losango
As diagonais do losango possuem tamanhos diferentes. Elas se cruzam nos seus respectivos pontos médios perpendicularmente e formam um ângulo reto (ângulo de 90°).
Cada diagonal divide o losango em dois triângulos congruentes. E às duas diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos.
A partir da área do triângulo é que chegamos na fórmula da área do losango.
A área do triângulo é:
Onde:
- A: é a área;
- b: é a base;
- h: é a altura;
Substituindo a medida da base (b) na fórmula do triângulo pela medida da diagonal menor (d). E a altura (h) pela medida da metade da diagonal maior (D/2), chegaremos a fórmula da área do losango. Veja:
Assim,
Portanto, temos que:
Propriedades do Losango
Os losangos possuem as seguintes propriedades:
- Os ângulos opostos são congruentes;
- As diagonais são bissetrizes;
- As diagonais são segmentos de retas perpendiculares entre si;
- Qualquer losango tem uma circunferência inscrita.
Exercícios
Acesse os exercícios no link a seguir:
- Exercícios sobre a área do losango