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836 Determine a derivada da função: $f\left( x\right) =e^{\cos \left( x^{2}\right)}.$ Pela regra da cadeia, temos que$f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)$Assim, escolhendo $f(x) = e^x$ e $g(x)=\cos(x^2)$, temos:$(e^{\cos(x^2)}))' = e^{\cos(x^2)}(\cos(x^2))'$Para calcular $(\cos(x^2))'$, temos que aplicar novamente a regra da cadeia. Desta vez, podemos escolher $f(x)=\cos(x)$ e $g(x)=x^2$.Assim, $(\cos(x^2))'= -2\sin(x^2)x$Portanto: $(e^{\cos(x^2)}))' = -2 e^{\cos(x^2)}x\sin(x^2)$ 1550 Se um raio de luz de intensidade $k$ é projetado verticalmente para baixo na água, então a sua intensidade $I(x)$ à profundidade de $x$ metros é $I(x)=ke^{-1,4x}$.
1719 A função de Heaviside (também conhecida como função degrau), cujo gráfico pode ser visto abaixo, é muito utilizada para modelar chaves que ligam e desligam em circuitos elétricos (e também diversas aplicações). O que você tem a dizer sobre a continuidade dessa função? E sobre a diferenciabilidade?  788 Encontre as equações das retas que passam pelo ponto $(-1,1)$ e são tangentes à curva $x^2+4y^2-4x-8y+3=0.$ 802 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =x^{2}e^{x}$. Usando a regra da derivada do produto, temos que \[f^\prime(x) = (x^2 e^x)^\prime = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime.\] Como $(x^2)^\prime = 2x$ e $(e^x)^\prime = e^x$, então \[(x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime = 2x e^x + x^2 e^x.\] Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que \[f^\prime (x) = e^x (x^2 + 2x).\] 1531 Em um gerenciamento de estoques, o custo médio semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadoria é dado por: $$A(q)=\dfrac{km}{q}+cm+\dfrac{hq}{2},$$ onde $q$ é a quantidade de produtos pedida em períodos de baixa no estoque; $k$ é o custo (fixo) da colocação de um pedido; $c$ é o custo (também fixo) de cada item; $m$ é a quantidade de itens vendidos por mês; e $h$ é o custo mensal para manter cada item (custos de espaço, seguro, etc). Determine $dA/dq$ e $d^2A/dq^2$. Interprete os resultados. 826 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =2^{x}$. 810 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$. $f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$. Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sqrt{x}$ pela função $x+1$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos: \[\left( \dfrac{\sqrt{x}}{x+1} \right)^\prime = \dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - \sqrt{x}\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2}.\] Sabendo que \[(\sqrt{x})^\prime = \left(x^{1/2}\right)^\prime = \dfrac{1}{2} x^{\left(\tfrac{1}{2}-1\right)} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\] e que \[(x+1)^\prime = (x)^\prime + (1)^\prime = 1 + 0 = 1,\] podemos usar essas expressões na regra do quociente e, assim, obter que \[\dfrac{(\sqrt{x})^\prime \cdot (x+1) - (\sqrt{x})\cdot (1+x)^\prime}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}(1)}{(x+1)^2} = \dfrac{\dfrac{x}{2 \sqrt{x}} +\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} -\dfrac{x}{\sqrt{x}}}{(x+1)^2}.\] Disso, podemos concluir que \[f'(x) = \dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}.\] 1253 Calcule a derivada de ordem $n$ da função $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$. 1198 Calcule a derivada da seguinte função: 1243 Calcule a derivada da seguinte função: 1590 Uma criança empina uma pipa a uma altura de $50$m. O vento age sobre a pipa horizontalmente a uma velocidade de $7$m$/$s em relação à criança. Com que velocidade a criança deve soltar a linha quando a pipa estiver a $100$m de distância? 1549 Se uma droga é injetada em uma corrente sanguínea, sua concentração $C$, $t$ minutos depois, é dada por $C(t)=\frac{k}{a-b}(e^{-bt}-e^{-at})$, para constantes positivas $a$, $b$ e $k$.
1188 Calcule a derivada da seguinte função: $f'(x) = \dfrac{2 \ln x + \ln 6}{x \ln 2 \ln 3}$. 1530 A resposta do corpo humano a uma dose de um medicamento pode ser representada pela equação: $$R=M^2\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{M}{3}\right),$$ onde $C$ é uma constante positiva e $M$ a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se $R$ for uma variação da pressão sanguínea, é medida em milímetros de mercúrio; se for variação de temperatura, é medida em graus. Determine a sensibilidade do organismo ao medicamento, $dR/dM$. 1578 Determine a derivada de ordem $n$ de:
1729 Um vaso em formato hemisférico de raio $7,5$cm está sendo enchido de água a uma taxa de $16$cm$^3/$s. Quando a profundidade da água está em $2,5$cm, com que velocidade o nível da água sobe? 1184 Determine a derivada da seguinte função: 1535 Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:
1191 Calcule a derivada da seguinte função: $f'(x) = -\dfrac{3 \tan x}{\log 2}$. 1384 Um invertimento de \$500,00 da juro de 7% ao ano, capitalizado continuamente, e apót $t$ anos o investimento valerá $500e^{0,07t}$.
2 Seja $\ell$ a reta que passa pela origem do plano cartesiano e tangencia a curva $y = x^3 + x + 16$. Qual a inclinação de $\ell$? Dado que $\ell$ é uma reta que passa pela origem, sabemos que sua equação é do tipo $\ell(x)=ax$. Como ela tangencia a curva $y(x)$, sabemos que há um ponto $x^*$ tal que $\ell(x^*)=y(x^*)$. Além disso, sabemos que em $x^*$ a inclinação de $\ell$ é a mesma inclinação de $y$ (por quê?), o que é equivalente a $\ell'(x^*)=y'(x^*)$. Assim, temos: \begin{cases} \left.x^*\right.^3+x^*+16 = ax^* \\ 3\left.x^*\right.^2+1=a \end{cases} Resolvendo o sistema de equações obtemos: \begin{align*}x^* = 2\\a = 13 \end{align*} Sendo, portanto, $a=13$ a resposta desejada. 1189 Calcule a derivada da seguinte função: $f'(x) = \dfrac{x(x^2-1)(3x^2+5)}{(x^2+1)^{3/2}}$. 1542 Seja $f(x)=cotg{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. $f'(x)=-cossec^2(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-2$. 521 A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical de raio $2$ metros se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de $3000$ litros por minuto? 1554 O modelo Jenss é considerado geralmente como a fórmula mais precisa para predizer a altura de uma criança em idade pré-escolar. Se $h(x)$ denota a altura (em cm) na idade $x$ (em anos) para $\frac{1}{4} \leq x \leq 6$, então $h(x)$ pode ser aproximada por $h(x)=79,041+6,39x-e^{3,261-0,993x}$.
1135 Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ nos seguintes casos: 515 Considere as funções trigonométricas hiperbólicas: \begin{equation*} \sinh x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2};\;\cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\text{.} \end{equation*}
1203 Demonstre que a derivada da função cosseno é a oposta da função seno. 1561 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=\ln{x}$ no ponto de abscissa $1$. Esboce os gráficos de $f$ e da reta tangente. 1138 Escreva a taxa de crescimento de $y$ em termos das taxas de crescimento das variáveis $k$, $l$ e $m$ para os seguintes casos. Assuma $\beta$ como uma dada constante.
791 Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$: $f\left( x\right) =x^{2},\;p=2$. 849 Calcule a derivada da função: $y=\ln \left(\dfrac{\cos \sqrt{x}}{1+\sin \sqrt{x}}\right)$. $y'=(\sin(\sqrt{x}) + 1) \sec(\sqrt{x}) \left(-\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)} - \dfrac{\cos^2(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)^2}\right)$. 1584 Dados $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ e $x_0 = 1,3$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto. 1577 Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^2+3x, & \text{se} x \leq 1 \\ 5x-1, & \text{se} x>1 \end{array}\right.$. 841 O que podemos dizer sobre uma função $f\left( x\right) $ tal que $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }$ para todo $x$? Pela aplicação direta da Regra da cadeia, temos que: $\left( f\left( f\left(x\right) \right) \right) ^{\prime }=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$ Para $f(x)$, portanto, temos que: $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) =f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)f^{\prime}(x)$ Para que a igualdade seja verdadeira, há duas possibilidades. Ou: $f^{\prime}(x)=0,\,\forall x$ i.e., a função é uma constante (o que resultaria em $0=0$). Ou: $f^{\prime}(x)=1,\,\forall x$ i.e., $f(x)=x+a$, sendo que $a$ é uma constante (o que resultaria em $f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)=f^{\prime }\left( f\left( x\right) \right)$). 1328 Sejam $x_0,c\in\mathbb R$ e considere a função $f(x)=e^{cx}$. Encontre $f'(x_0)$ usando a definição de derivada. 1579 Dados $f(x) = x^2+2x$ e $x_0 = 0,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto. 846 Calcule a derivada da função: $y=\dfrac{e^{\sec \sqrt{x}}}{x}$. $y'=\dfrac{(\tan x) e^{\sec x} \sec x)}{\sqrt{x}} - \dfrac{e^{\sec x}}{(2 x^{3/2})}$. 1820 Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$. 1816 Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:
1555 Para uma população de elefantas africanas, o peso $W(t)$ (em quilogramas) e a idade $t$ (em anos) pode ser aproximado por uma função de crescimento de Fertanlanffy $W$ tal que $W(t)=2600(1-0,51e^{-0,075t})^3$.
1327 Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função $f(x)=12\sqrt[6]{x}-\frac{1}{2x^2}+\log_5(x)$ no ponto cuja coordenada horizontal é $3$. 1817 Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:
1569 Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1, & \text{se } x<2 \\ 1, & \text{se } x \geq 2 \end{array}\right.$
1582 Dados $f(x) = 1+x$ e $x_0 = 8,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto. 1572 Prove que se $f$ for derivável em $p$, então $f$ será contínua em $p$. Veja Guidorizzi, volume $1$, página $152$. 1557 Um modelo de densidade urbana é uma fórmula que relaciona a densidade populacional (em número de habitantes por $km^2$) com a distância $r$ (em $km$) do centro da cidade. É considerada apropriada para certas cidades a fórmula $D=ae^{-br+cr^2}$, com $a,b$ e $c$ constantes positivas. Determine a forma do gráfico de $D$ para $r \geq 0$. 1245 Calcule a derivada da seguinte função: -\frac{\sin (x)}{\sqrt{1-\cos ^2(x)}} 1204 Demonstre que a derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante. 1717 Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $xy=c$ e da família $x^2-y^2=k$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de hipérboles) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.) 796 Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição: $f\left( x\right) =x^{2}+x$. 795 Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$: $f\left( x\right) =\sqrt[3]{x},\;p=1$. 1588 Mostre que a linearização de $f(x)=(1+x)^k$ em $x=0$ é $L(x)=1+kx$. 1576 Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=x|x|$. 1539 Suponha que um meteorito pesado está a $s$ quilômetros do centro da Terra, e que sua velocidade de entrada na atmosfera terrestre seja inversamente proporcional a $\sqrt{s}$. Mostre que a aceleração do meteorito é inversamente proporcional a $s^2$ e interprete o resultado. 1185 Determine a derivada da seguinte função: $f'(x)=3/8 \sin(2x) \sin(4x)$. 1194 Calcule a derivada da seguinte função: $\frac{x \left(x^3+1\right)^4 \left(7 x^3+15 x-8\right)}{\left(x^2+1\right)^5}$ 1326 O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao gráfico de $y=f\left( x\right) $, é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que $f\left( 0\right) =1$ e que $f\left(1\right) =1/\sqrt{2}$, determine $f$. 1586 Dados $f(x) =\sin^{-1}x$ e $x_0 = \pi/12$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto. 1743 Escreva o número $\sin 1/2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-20}$. 1819 Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.Estude o sinal de $f'(x)$.Faça um esboço do gráfico de $f$. 838 Derive a função $f\left( x\right) =\left( 3^{2x+3}\right)\sqrt{\cos \left( x^{3}+x^{1/3}\right) }.$ $ 2.3^{2 x + 3} \sqrt{\cos(x^3 + x^{1/3})} \log 3 - (3^{2 x + 3} (1/(3 x^{2/3}) + 3 x^2) \sin(x^3 + x^{1/3}))/(2 \sqrt{cos(x^3 + x^{1/3})})$. 1329 Encontre os pontos sobre o gráfico de $p(x)=x^3-2x^2-8x+3$ nos quais a reta tangente é paralela à reta $y=4-9x.$ 1570 Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & \text{se } x \leq 0 \\-x^2, & \text{se } x>0 \end{array}\right.$
1726 Seja $x$ uma função de $t$, isto é, $x=f(t)$, tal que para $t=0$, $x=1$ e para $t=1$, $x=2$. Suponha que $\dfrac{dx}{dt}>0$ para $t\geq0$; $\dfrac{d^2x}{dt^2}<0$ para $0<t<1$ e $\dfrac{d^2x}{dt^2}>0$ para $t>1$. Como você acha que deve ser o gráfico de $f$? Por quê? 1747 Seja $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin(x)}{x}, &\text{ se } x\neq0,\\1, &\text{ se } x=0\end{array}\right..$$ Começando com o polinômio de Taylor de ordem $2n+1$ para $\sin x$, junto com a estimativa para o termo de resto $R_{n,1}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-a){n+1}$, mostre que: $$f(x) = \left( 1-\dfrac{x^2}{3!}+\dfrac{x^4}{5!}+\ldots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n+1)!} + R_{2n,0,f}(x) \right),$$ onde: $$|R_{2n,0,f}(x)| \leq \dfrac{|x|^{2n+1}}{(2n+2)!}.$$ 1552 Uma substância radioativa decai de acordo com a fórmula $q(t)=q_0e^{-ct}$, onde $q_0$ é a quantidade inicial da substância, $c$ é uma constante positiva, e $q(t)$ é a quantidade remanescente após o tempo $t$. Mostre que a taxa na qual a substância decai é proporcional a $q(t)$. 1190 Calcule a derivada da seguinte função: $f'(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$. 526 Uma escada de $8 m$ está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de $2 m/s$, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a $3 m$ da parede? 1558 A taxa de crescimento $R$ de certo tipo de tumor pode ser relacionada com seu tamanho $x$, de modo aproximado, pela equação $R=r\cdot x\cdot ln(K/x)$, em que $r$ e $K$ são constantes positivas. Mostre que o tumor cresce mais rapidamente quando $x=e^{-1}K$. 1134 Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$ nos seguintes casos: 1589 Suponha que $y=f(x)$ seja derivável em $x=a$ e que $g(x)=m(x-a)+c$ seja uma função linear, em que $m$ e $c$ sejam constantes. Se o erro entre $f$ e $g$, $E(x) = f(x)-g(x)$ for suficientemente pequeno perto de $x=a$, poderemos pensar em utilizar $g$ como aproximação linear de $f$ ao invés da linearização $L(x) = f(a)+f'(a)(x-a)$.
1133 Seja $f(x)=2x^2-3$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ nos pontos: 789 Demonstre que as retas tangentes às curvas $4y^3-x^2y-x+5y=0$ e $x^4-4y^3+5x+y=0$ na origem são perpendiculares. 522 Uma viatura de polícia, vindo do norte e se aproximando de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que, no cruzamento, toma a direção leste. Quando a viatura está a $0,6 km$ ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a $0,8 km$ a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a $20 km/h$. Se a viatura está se deslocando a 60 km/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo? 798 Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição: $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x+1}$. $f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$. 808 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$:$f\left( x\right) =\dfrac{\sec x}{3x+2}$. $f'(x) = \dfrac{\tan x \sec x}{3x+2}-\dfrac{3 \sec x}{(3x+2)^2}$. Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sec x$ pela função $3x+2$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos: \[\left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2}.\] Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada: \[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\] Por outro lado, sabemos que $(3x+2)^\prime = 3$. Dessa forma, voltando à primeira igualdade e substituindo $(\sec x)^\prime$ e $(3x+2)^\prime$ pelas expressões encontradas, obtemos:\[\dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2} = \dfrac{\tan(x) \sec(x) (3x+2) - (\sec x)(3)}{(3x+2)^2} .\] Ou seja, \[ \left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{\tan(x) \sec(x)}{3x+2} - \dfrac{3\sec(x)}{(3x+2)^2}. \] 1818 Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize. 1739 Escreva o polinômio $p(x)=x^2-4x-9$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?) 1543 Seja $f(x)=cossec{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. Inicialmente, determinamos a primeira derivada da função $f$: $f'(x)=-cossec(x)cotg(x)$. $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$=-cossec\(\dfrac{\pi}{4}\)cotg\(\dfrac{\pi}{4}\)=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot 1 = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$. 1541 Calcule $f'(x)$ sendo
1. $f'(x)=sec^2(x)$. 2. $f'(x)=sec(x)tg(x)$. 1591 Em uma esteira transportadora, areia é derrubada a uma taxa de $10$m$^3/$min no topo de um monte em formato de cone. A relação entre a altura do monte e o diâmetro da base é sempre de $3/8$.
1581 Dados $f(x) = 2x^2+4x-3$ e $x_0 = -0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto. 1529 O projetista de um balão esférico (um projetista excêntrico) de ar quente com $10m$ de diâmetro quer suspender uma gôndola a $2m$ abaixo da parte inferior do balão, presa por cabos tangentes à superfície deste. Dado que os cabos, saindo da lateral do balão, tangenciam a superfície do mesmo nos pontos $(4,-3)$ e $(-4,-3)$, qual deve ser a largura da gôndola? 797 Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição: $f\left( x\right) =1/x$. 852 Determine as derivadas das seguintes funções:
523 Uma escada de $5 m$ de altura está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a $3 m/s$, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede quando a base encontra-se a $3 m$ da parede? 1255 Considere a curva definida pela equação $x^2y+3\ln(1-y)+x^4=1.$
848 Calcule a derivada da função:
$y'=-\dfrac{\sqrt{2 - x^{1/3}}}{x^{1/3}}$. 1545 Demonstre as seguintes regras de derivação:
801 Ache uma fórmula para a soma $1+2x+3x^2 +\cdots +nx^{n-1}$. $\dfrac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$, $x \neq 1$. Se $x=1$, a soma dá $\dfrac{n(n+1)}{2}$. 835 Determine a derivada de $f\left( t\right) =t^{3}e^{-3t}$. 1744 Escreva o número $e$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-4}$. 1200 Uma partícula tem sua posição variando com o tempo de acordo com a relação $s(t)=-2\sin(t)+3\cos(t)$ , onde $s$ é dado em metros e $t$ em segundos.
1. $v(t)=-3\sin(t)-2\cos(t)$. 2. $v(3)=-3\sin(3)-2\cos(3)$. 1252 Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=\sin{kx}, k \in R$. $f^{1000}(x)=k^{1000}\sin{kx}$ 850 Calcule a derivada da função: $y=\dfrac{1}{2}\cot ^{2}5x+\ln \sin x.$ $y'=\cot(x) - 5 \cot(5 x) \csc^2(5 x)$. 1250 Compute a derivada $f''(x)$ de $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$. 519 Enche-se um balão esférico a uma taxa de $4,5$ decímetros cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir $2$ decímetros. 1544 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=tg{x}$ no ponto de abscissa $0$. 514 Determine o domínio de definição das funções trigonométricas inversas a seguir e expresse suas derivadas em termos de funções polinomiais:
1718
1748
527 A base $x$ e a altura $y$ de um retângulo estão variando com o tempo. Em um dado instante, $x$ mede $3 cm$ e cresce a uma taxa de $2 cm/s$, enquanto $y$ mede $4 cm$ e decresce a uma taxa de $1 cm/s$. Determine, nesse instante, a taxa de variação da área $A$ do retângulo em relação ao tempo. 1242 Encontre os dois pontos onde a curva $x^2+xy+y^2=7$ cruza o eixo x e mostre que as tangentes à curva nesses pontos são paralelas. Qual é o coeficiente angular comum dessas retas? 1533 Seja $g(x)=x^3+\dfrac{1}{x}$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto correspondente a $x=1$. 517 Calcule, pela definição, a derivada das seguntes funções:
1. $f'(x)=a$. 2.$f'(x)=2ax+b$. 1534 Calcule $F'(x)$ sendo $F(x)$ igual a:
530 Suponha que uma gota de neblina seja uma esfera perfeita e que, por condensação, capte umidade a uma taxa proporcional à área de sua superfície. Mostre que nessas circunstâncias o raio da gota cresce a uma taxa constante. 1563 Seja $g(x)=a^x$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=a^x \ln{a}$. 1585 Dados $f(x) = e^{-x}$ e $x_0 = -0,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto. 1556 Os impulsos nervosos no corpo humano caminham ao longo de fibras nervosas que consistem em um axônio, que transporta o impulso, envolvido por uma camada de mielina. A fibra nervosa é semelhante a um cabo cilíndrico isolado, para o qual a velocidade $v$ de um impulso é dada por $v=-k(r/R)^2 \ln(r/R)$, onde $r$ é o raio do cabo e $R$ é o raio de isolamento. Ache o valor de $r/R$ que maximize $v$. Na maioria das fibras nervosas, $r/R$ vale aproximadamente $0,6$. 1721 Imagine uma estrada em que o limite de velocidade é especificado a cada ponto dela. Isto é, existe uma certa função $L$ tal que o limite de velocidade no quilômetro $x$ da estrada é $L(x)$. Dois carros, $A$ e $B$, estão viajando nesta estrada; o carro $A$ com posição $a(t)$ e o $B$ com posição $b(t)$.
1741 Escreva o número $\sin 1$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-17}$. 784 Consideremos a curva $y=-x^4 +2x^2+x$ e o ponto $P=(1,2)$ nessa curva. Verifique que a reta tangente a essa curva no ponto $P$ também é tangente à curva em outro ponto. Ache esse outro ponto. 1727 Uma partícula se move na circunferência $x^2 + y^2 = a^2$ de tal modo que a componente $x$ de sua velocidade é $\dfrac{dx}{dt}=-y$. Encontre $\dfrac{dy}{dt}$ e determine se o sentido do movimento é horário ou anti-horário. 1560 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=e^x$ no ponto de abscissa $0$. 799 Calcule $f'\left( x\right) $, pela definição: $f\left( x\right) =1/x^{2}$. $f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}$. 1580 Dados $f(x) = x^{-1}$ e $x_0 = 0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto. A linearização da função $f(x)$ em torno de um ponto $x_0$ nada mais é do que assumir que ela se comporta como uma reta que passa pelo ponto $(x_0,f(x_0))$ com inclinação $f'(x_0)$. Neste caso temos $f(x)=x^{-1}$ e $f'(x)=-x^{-2}$. Linearizando a função em torno de $1$, temos $\frac{y-f(1)}{x-1}=f'(1)=\frac{y-1}{x-1}= -1$ portanto temos $y=2-x$ 1137 Escreva a taxa de crescimento de $y$ em termos das taxas de crescimento de $k$, $l$ e $m$ para os seguintes casos. Assuma $\beta$ como uma dada constante. 1730 Suco de maracujá (um bom calmante natural) é derramado a uma taxa uniforme de $20$cm$^3/$s em um copo de vidro em forma de um cone truncado (veja a figura abaixo). Se os raios superior e inferior do copo forem de $4$ e $3$cm e a altura $12$cm, com que rapidez estará subindo o nível de suco quando ele estiver na metade do copo? (Sugestão: estenda o copo para baixo para formar um cone.) 1573 Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2x$. $f'(x)=16x^3+2$, $f''(x)=48x^2$ e $f'''(x)=96x$. 1742 Escreva o número $\sin 2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-12}$. 1136 Suponha que $x(t)=e^{0,05t}$ e que $z(t)=e^{0,01t}$. Calcule a taxa de crescimento de $y(t)$, sabendo que $y=x^{\beta }z^{1-\beta }$, com $\beta =1/2$. 787 Encontre o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de $y=x-\frac{1}{x}$ no ponto $(1,0)$ com o eixo $y$. 1587 Determine a linearização de $f(x) = \sqrt{x+1} + \sin x$ em $x=0$. Como ela se relaciona com as linearizações individuais de $\sqrt{x+1}$ e $\sin x$ em $x=0$? 774 Determine uma reta que seja tangente à elipse $x^{2}+2y^{2}=9$ e que intecepte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada $9/4$. 1540 Seja $f(x)=\sin{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$. $f'(x)=\cos(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. 1745 Escreva o número $e^2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-5}$. 794 Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$: $f\left( x\right) =1/x^{2},\;p=1$. 793 Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$: $f\left( x\right) =\sqrt{x},\;p=9$. 845 Calcule a derivada da função: $y=\left( 2+\sin x\right) ^{x}$. $y' = (\sin x + 2)^x (\log(\sin x + 2) + (x \cos x )/(\sin x + 2))$. 1746
1192 Calcule a derivada da seguinte função: 806 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =e^{x}\sin x\cos x$. $f'(x) = \dfrac{1}{2} e^x ( \sin (2x) + 2 \cos (2x))$. 844 Calcule a derivada da função: $y=\ln \sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$. 1731 Em um reservatório cônico (com vértice para baixo), água é evaporada a uma taxa proporcional à área da superfície exposta ao ar. Mostre que a profundidade da água decresce a uma taxa constante que não depende das dimensões do reservatório. 790 Dê a definição de derivada de uma função $f$ no ponto $p\in \mathbb{R}.$ O que é a função derivada $f^{\prime }(x)$? 786 Calcule os valores de $a,b$ e $c$ de modo que as parábolas $y=x^2+ax+b$ e $y=-x^2 +cx$ sejam tangentes uma a outra no ponto $(1,2)$. 840 Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado: $f\left( x\right) =\dfrac{\ln \left( x^{2}\right) +5x^{3}}{1+\cos^{2}x};$ avaliar em $f\,^{\prime }\left( \pi /2\right) .$. $f'(x) = (15 x^2 + 2/x)/(\cos^2 x + 1) + (2 (5 x^3 + \log(x^2)) \sin x \cos x )/(\cos^2 x + 1)^2$. $f'(\pi/2) = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{15 \pi^2}{4}$. 829 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$. 525 Se o raio de um círculo cresce à taxa de $30 cm/s$, a que taxa cresce a sua área em relação ao tempo, em função do raio? Dica: Use a fórmula da área do círculo. 1546 Demonstre as seguintes regras de derivação:
807 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $\left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x$. $f'(x) = \left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x + \dfrac{e^x \tan x}{2 \sqrt{x}} + e^x(\sqrt{x} + 1) \sec^2 x$. 1201 Se a velocidade de um objeto em metros por segundo no instante $t$ segundos é $v(t)=-\sin(t)-\cos(t)$, qual a sua posição no instante $t=4$? 1575 Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2/x$. 1244 Calcule a derivada da seguinte função: 1548 A posição $s$ de uma partícula em um instante $t \geq 0$, se deslocando em um movimento retilíneo, é dada por: $$s=10\cos(t+\pi/4).$$
839 Derive a função abaixo e avalie a derivada no ponto indicado:
$f'(x) = 6 e^{2 x^3} x^2 - 3 \sin(\sin(3 x)) \cos(3 x)$. $f'(0) = 0$. 1574 Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=1/x$. $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ e $f'''(x)=-\dfrac{6}{x^4}$. 1140 Considere a função $f(x)=\sin x.$
528 Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento em ângulo reto, um seguindo a direção leste a uma velocidade de $90 km/h$ e o outro seguindo a direção sul, a $60 km/h$. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a $0,2 km$ do cruzamento e o segundo a $0,15 km$? 533 Verifique que, para todo $x>0$, verificam-se as desigualdades:
1195 Calcule a derivada da seguinte função: 811 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $\dfrac{x+\sqrt[4]{x}}{x^{2}+3}$. $f'(x) = \dfrac{3-7x^2}{4 x^{3/4}(x^2+3)^2}$. 818 Sejam $f\left( x\right) $ e $g\left( x\right) $ funções $\begin{array}{|c|c|}\hline x & f\left( x\right) & g\left( x\right) & f^{\prime }\left(x\right) & g^{\prime }\left( x\right) \\\hline 0 & 1 & 1 & 5 & 1/3 \\\hline 1 & 3 & -9 & -1/3 & -8/3 \\\hline \end{array}$ Encontre as derivadas de:
1740 Escreva o polinômio $p(x)=x^4-12x^3+44x^2+2x+1$ em $x$ como um polinômio em $(x-3)$. (Só é necessário calcular o polinômio de Taylor em $3$, do mesmo grau do polinômio original. Por quê?) 518 Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à razão de $6\,cm^3/min$. A altura do cone é $24cm$ e o raio da base é $12cm$. Encontre a velocidade com que baixa o nível da água quando está a $10cm$ do fundo. $\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{1}{25 \pi}$ cm/min 520 Uma escada de $10$ metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a uma taxa constante de $0,6 m/s$, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a $6 m$ do solo? 1583 Dados $f(x) = \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}3]{x}$ e $x_0 = 8,5$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto. 1254 Determine a derivada de ordem $999$ da função $f(x)=\sin(x)+\cos(x)$. 1187 Calcule a derivada da seguinte função: $f'\left( x\right) =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$ 773 Determine uma reta que seja paralela a $x+y=1$ e tangente à curva $x^{2}+xy+y^{2}=3$ 803 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =e^{x}\cos x$. $f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$. Usando a regra da derivada do produto, temos que \[f^\prime(x) = (e^x \cos x)^\prime = (e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime.\] Como $(e^x)^\prime = e^x$ e $(\cos x)^\prime = -\sin x$, então \[(e^x)^\prime \cdot \cos(x) + e^x \cdot (\cos x)^\prime = e^x \cos x + e^x (-\sin x) .\] Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que \[f^\prime (x) = e^x (\cos x- \sin x).\]827 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =\pi ^{x}$. 1553 A corrente $I(t)$ em um circuito elétrico composto de um resistor e um indutor, no instante $t$, é dada por $I(t)=I_0e^{-Rt/L}$, onde $R$ é a resistência, $L$ a indutância e $I_0$ é a corrente no instante $t=0$. Mostre que a taxa de variação da corrente no instante $t$ é proporcional a $I(t)$. 1251 Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=e^{kx}, k \in R$. $f^{1000}(x)=k^{1000}e^{kx}$ 1571 Seja $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x+3, & \text{se } x<3 \\x-3, & \text{se } x \geq 3 \end{array}\right.$
828 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =\log _{a}x,\;a>0$ e $a\neq 1$. 1196 Calcule a derivada da seguinte função: $2\ 3^{2 x} \log (3) \log \left(x^2\right)+\frac{2\ 3^{2 x}}{x}$ 1381 Usa-se a técnica do carbono-14 para determinar a idade de espécimes arqueológicos ou geológicos. Este método baseia-se no fato de que o carbono-14, isótopo instável ($^{14}C$) está presente no $CO_2$ na atmosfera. As plantas assimilam carbono da atmosfera; quando morrem o $^{14}C$ acumulado começa a decair, com uma meia vida de aproximadamente 5700 anos. Medindo-se a quantidade de $^{14}C$ que resta em um espécime, é possível determinar quando o organismo morreu. Suponha que um osso fóssil acuse 20\% da quantidade de $^{14}C$ presente em um osso dos dias atuais. Dê uma aproximação da idade do osso fóssil. 792 Determine a equação da reta tangente em $\left( p,f\left(p\right) \right)$: $f\left( x\right) =x^{2}-x;\;p=1$. 800 Resolva os itens.
1202 Demonstre que a derivada da função seno é a função cosseno. 1193 Calcule a derivada da seguinte função: 809 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =4\sec x+\cot x$. $f'(x) = 4 \sec x \tan x - \csc^2 x$. Como a derivada da soma de funções é a soma de suas derivadas, temos inicialmente que \[ (4\sec x+\cot x)^\prime = (4\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime = 4 (\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime .\] Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada: \[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\] De forma análoga, usaremos a regra do quociente para calcular a derivada da função $\cot x$, que é igual a $\frac{\cos x}{\sin x}$: \[(\cot x)^\prime = \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime = \dfrac{(\cos x)^\prime\cdot \sin(x) - \cos(x)\cdot (\sin x)^\prime}{(\sin x)^2} =\dfrac{(-\sin x) \sin x - \cos(x)(\cos x)}{(\sin x)^2} = -(\csc x)^2,\] em que usamos a identidade trigonométrica fundamental \[(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1\] e a identidade $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ para obter a cossecante. Substituindo as expressões encontradas para as derivadas de $\sec x$ e de $\cot x$ na primeira igualdade, concluímos que $f'(x) = 4 \tan(x)\sec(x) - (\csc x)^2$. 805 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f\left( x\right) =xe^{x}\cos x$. $f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x)$. Usando a regra da derivada do produto de duas funções, escolhendo considerar $x e^x$ como uma delas e, consequentemente, $\cos x$ como a outra, obtemos: \[ (x e^x \cos x)^\prime = (x e^x)^\prime \cdot \cos(x)+ x e^x \cdot (\cos x)^\prime .\] Para calcular $(x e^x)^\prime$, vamos usar novamente a regra da derivada do produto: \[(x e^x)^\prime = (x^\prime) \cdot e^x + x\cdot (e^x)^\prime = e^x(1+x),\] em que usamos que $(x)^\prime=1$ e $(e^x)^\prime=e^x$, além de colocar em evidência o fator comum $e^x$. Substuindo essas expressões na igualdade inicial, temos que \[ (x e^x \cos x)^\prime = e^x(1+x)\cos(x) - x e^x \sin x,\] já que $(\cos x)^\prime = -\sin x$. Ou seja, obtivemos que \[f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x).\] 804 Calcule $f^{\prime }\left( x\right)$: $f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}$. Queremos calcular a derivada da divisão da função $1+e^x$ pela função $1-e^x$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos: \[\left( \dfrac{1+e^x}{1-e^x} \right)^\prime = \dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2}.\] Como \[(1+e^x)^\prime = (1)^\prime + (e^x)^\prime = 0 + e^x = e^x\] e, analogamente, \[(1-e^x)^\prime = -e^x,\] temos então que $\dfrac{(1+e^x)^\prime \cdot (1-e^x) - (1+e^x)\cdot (1-e^x)^\prime}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x (1-e^x)-(1+e^x)(-e^x)}{(1-e^x)^2} = \dfrac{e^x(1-e^x)+e^x(1+e^x)}{(1-e^x)^2}$. Para simplificar o numerador, colocamos o fator comum $e^x$ em evidência: $e^x(1-e^x+1+e^x) = 2e^x$. Portanto, concluímos que \[f'(x) = \dfrac{2 e^x}{(1-e^x)^2}.\] 516 Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ uma função.
1536 Sejam $f,g,h$ funções deriváveis. Verifique que $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$. Generalize. Dica: Derive a função $Fh$, onde $F=fg$. Use a regra do produto duas vezes. Para generalizar use o princípio da indução finita. 1330 Considere a seguinte função:\begin{equation*} f(x)= \begin{cases} (x-b)^2 -2, \quad x\geq 0 a\sin x,\quad x<0. \end{cases} \end{equation*}
Observamos que para todo $x\geq 0$ a função $(x-b)^2 -2$ é contínua e que para todo $x<0$ também a função $a\sin x$ é contínua. Logo, temos que verificar a continuidade no ponto $x=0$, isto é, deve acontecer que $\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x),$ ou seja, $\lim_{x\rightarrow 0^-}a\sin x=\lim_{x\rightarrow 0^+} (x-b)^2 -2.$ A relação anterior implica que $0= b^2-2$, ou seja $b=\pm\sqrt{2}.$ \\ Afim de achar o valor de $a$, encontramos a derivada de $f(x)$. Observamos que, sendo $a\sin x$ e $(x-b)^2 -2$ funções diferenciáveis para todo $x\in \mathbb{R}$, a derivada de $f(x)$ é a seguinte: $f'(x)= \begin{cases} 2(x-b), \quad x> 0 a\cos x,\quad x<0. \end{cases}$ Como queremos que $f(x)$ seja diferenciável no ponto $x=0$ também, temos que impor $\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)= \lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x),$ ou seja, $\lim_{x\rightarrow 0^-}a\cos x= \lim_{x\rightarrow 0^+}2(x-b).$ A relação anterior implica que $a= -2b$, então as duplas de valores para os quais $f(x)$ é contínua e diferenciável para todo $x\in \mathbb{R}$, são $(a,b)= (2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ ou $(a,b)=(-2\sqrt{2}, \sqrt{2}).$ Usando a função derivada calculada no ponto anterior, temos que $f'(1)= 2(1-b),$ então, como a inclinação da reta tangente deve ser 2, obtemos $2(1-b)=2$ e logo $b= 1$. A equação de $t$ é $y= f(1)+ f'(1)(x-1)$, isto é $y= -2+1\cdot(x-1)=x-3.$ Usando a função derivada calculada no ponto anterior, temos que $f'(-\pi)= a\cos (-\pi)= -a,$ então, como a inclinação da reta normal $s$ é $-\frac{1}{2}$, deve ser $-a=2$, ou seja $a=-2$. A equação de $s$ é $y= f(-\pi)-\frac{1}{2}(x+\pi)$, isto é $y= -\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}\pi.$ 843 Calcule a derivada da função: $y=\dfrac{x\tan 3x}{x^{2}+4}$. $y' = -(2 x^2 \tan(3 x))/(x^2 + 4)^2 + (\tan(3 x))/(x^2 + 4) + (3 x \sec^2(3 x))/(x^2 + 4)$. 837 Determine a derivada da função: $f\left( x\right) =\left( sen x+\cos x\right) ^{3}.$ $3 (\cos (x)-\sin (x)) (\sin (x)+\cos (x))^2$ 785 Mostre que qualquer reta tangente ao gráfico da hipérbole $xy=a^2$ determina com as assíntotas um triângulo de área igual a $2a^2$. 1551 Se $p$ denota o preço de venda de um artigo e $x$ é a procura correspondente (em número de artigos vendidos por di, então a relação entre $p$ e $x$ pode ser dada por $p(x)=p_0e^{-ax}$ para constantes positivas $p_0$ e $a$. Suponha $p(x)=300e^{-0,02x}$. Determine o preço de venda que maximize a receita diária. 842 Calcule a derivada da função: $y=\sqrt{1+\sqrt{x}}$. $y'=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{x}+1}\sqrt{x}}$. 1723 Uma escada de $4$m está apoiada em uma parede fazendo um ângulo $\theta$ com o chão. Considerando $h$ como a altura do chão até o ponto em que a escada encosta na parede, expresse $h$ em função de $\theta$ e, então, use $dh$ para estimar a variação em $h$ se $\theta$ varia de $60^\circ$ a $59^\circ$, de $60^\circ$ a $58^\circ$, e de $60^\circ$ a $55^\circ$. Interprete estes resultados. 1559 As distribuições gamma, importantes em teoria das probabilidades, são determinadas por $f(x)=cx^ne^{-ax}$ para $x>0$, um inteiro positivo $n$, uma constante positiva $a$ e $c=\dfrac{a^{n+1}}{n!}$.
1197 Calcule a derivada da seguinte função: 1186 Determine a derivada da seguinte função: $f'(x) = -3 e^{-3 x} x^3 + 3 e^{-3 x} x^2 + (2 \sin(x^{-2}))/x^3$. 1537 Seja $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$, $0 \leq x \leq 2 \pi$.
1532 Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$. 531 Se uma bola de neve derrete de tal forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de $1cm^{2}/\min $, encontre a taxa segundo qual o diâmetro decresce quando o diâmetro for $5 cm$. 1547 Um aluno estudioso está sentado em uma sala de aula, ao lado da parede e de frente para a lousa, como na figura abaixo. A lousa tem $3$m de largura e começa a $1$m da parede à qual o aluno está próximo. Mostre que, se a distância da parede for $x$, o ângulo de visão é $$\alpha = \cot^{-1} \dfrac{x}{15} - \cot^{-1} \dfrac{x}{3}.$$ 529 Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de $1$ pé por segundo. Quando ele está a $65$ pés acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de $17$ pés por segundo passa por baixo dele. A que taxa a distância $s(t)$ entre a bicicleta e o balão aumentará três segundos depois? 1256 O fluxo de um campo magnético através de uma bobina, em função do tempo, é dado por $F=B \cdot l^2 \sin(\omega t)$ , onde $B$ é a intensidade do campo, $l$ o comprimento da espira e $\omega$ a velocidade angular da bobina. Pela "Lei de Faraday'', temos que a tensão $v$ do circuito associado a esse campo é dada por $v=-\frac{dF}{dt}$.
1728 A naftalina pode ser utilizada como repelente de insetos, embora possa trazer malefícios à saúde. Este composto tem a capacidade de sublimar, isto é: passa do estado sólido diretamente para o gasoso. Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que o seu raio decresce a uma taxa constante. 1716 Dizemos que duas famílias de curvas são trajetórias ortogonais uma da outra se cada curva de uma família for ortogonal a cada curva da outra. Faça um esboço de gráfico da família de curvas $x^2+(y-c)^2=c^2$ e da família $(x-k)^2+y^2=k^2$ no mesmo plano cartesiano, para alguns valores de $c$ e $k$ reais (se necessário, utilize algum recurso computacional). Mostre que estas famílias (de círculos) são ortogonais uma da outra. (Sugestão: retas tangentes são perpendiculares em um ponto de interseção se as suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra.) 1720
532 O raio $r$ e a altura $h$ de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume $V$. Num determinado instante, $h=3cm$ e $r=1cm$ e, neste instante, a altura está variando a uma taxa de $0,2cm/s$. A que taxa está variando o volume neste instante? 783 Encontre a equação da reta tangente à curva $y=2x^2+3$ que seja paralela à reta $8x-y+3=0$. 524 Dois automóveis movem-se em direção a um cruzamento em ângulo reto, um dirigindo-se para o leste à razão de $72 km/h$ e o outro para o sul à razão de $54 km/h$. Com que velocidade os carros aproximam-se um do outro no instante em que o primeiro está a $400 m$ e o segundo a $300 m$ do cruzamento? 851 Determine as derivadas das seguintes funções:
1722 A aproximação $(1+x)^k \approx 1+kx$ pode ser utilizada para cálculos rápidos.
847 Calcule a derivada da função: $y=e^{x^{x}}$. $y'=e^{x^x} x^x (\log x + 1)$. 1538 Suponha que em uma máquina um pistão se desloque verticalmente tal que sua posição no instante $t$ (medido em segundos) seja dado por: $$s=A \cos(2 \pi b t ),$$ onde $A>0$ é a amplitude do movimento, e $b>0$ é a frequência (número de vezes que o pistão se desloca de cima para baixo por segundo). Qual o efeito da duplicação da frequência sobre a velocidade, a aceleração e a sobreaceleração do pistão? Relacione a sua resposta com o fato de que uma máquina quebra quando funciona rápido demais. 1562 Seja $g(x)=log_a{x}$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=\dfrac{1}{x \ln{a}}$. |
Sabendo que o gráfico da função f(x) = ax+b passa pelos pontos 1 3 e 2 7 encontre o valor de a
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