Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n). Cada elemento da matriz é indicado por aii (i indica a posição do elemento referente à linha, e j, a posição em relação à coluna). Acompanhe a seguir a representação de uma matriz m x n. Nessa matriz, temos que: aij → linha (i) e coluna (j) a1,1 → linha 1 e coluna 1 a2,1 → linha 2 e coluna 1 am,1 → linha m e coluna 1 Diagonais da Matriz Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é formada pelos elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução. Veja como identificamos as diagonais de uma matriz: Diagonal Principal a1,1 → linha 1 e coluna 1 Diagonal Secundária a1,3 → linha 1 + coluna 3 = 4 Matrizes Especiais Existem algumas matrizes que são consideradas especiais pela forma como são organizadas. Entre essas matrizes, podemos destacar:
Observe que a matriz acima apresenta três linhas e três colunas. Como o número de linhas é igual ao de colunas, a matriz é quadrada.
Operações com matrizes As operações com matrizes são: adição, subtração e multiplicação.
Cada um dos elementos da matriz C é o resultado da soma de um elemento de A com um elemento de B. Para efetuarmos a adição entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo: A + B = C Observe que as matrizes A e B possuem a mesma quantidade de linhas (m = 2) e a mesma quantidade de colunas (n = 3). A matriz C é resultante da soma de A + B e também deve possuir duas linhas e três colunas.
A matriz diferença pode ser definida como sendo a soma de A com o oposto de B, ou seja, - B. Para realizarmos a subtração entre duas matrizes, elas devem possuir o mesmo número de linhas e colunas. Acompanhe o exemplo abaixo e verifique como é feita a subtração entre duas matrizes:
Descrição dos elementos da matriz: a1,1 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B. a1,2 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B. a1,3 → Produto dos elementos da linha 1 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B. a2,1 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 1 da matriz B. a2,2 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 2 da matriz B. a2,3 → Produto dos elementos da linha 2 da matriz A com os elementos da coluna 3 da matriz B. Determinante Calculamos o determinante de matrizes quadradas, isto é, aquelas em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Observe: Definimos como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido pela operação dos elementos que compõem A.
Para toda matriz quadrada 2 por 2, o cálculo do determinante é realizado da forma como está demonstrado acima. Caso a matriz quadrada seja do tipo M 3 X 3, M 4 X 4, M 5 X 5 e assim por diante, calculamos o seu determinante executando os passos descritos abaixo:
det M3 X 3 = a 1,1 . a 2,2 . a 3,3 + a 1,2 + a 1,2 . a 2,3 . a 3,1 + a 1,3 . a 2,1 . a 3,2 - ( a 1,3 . a 2,2 . a 3,1 + a 1,1 . a 2,3 . a 3,2 + a 1,2 . a 2,1 . a 3,3).
Procurando exercícios resolvidos sobre determinantes? Chegou ao site certo. Aqui a matemática é apresentada de forma simples e objetiva. Confira uma seleção especial de questões comentadas retiradas dos mais diversos concursos públicos realizados pelo Brasil. Bons estudos. Questão 1 (PM AC – Funcab). Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante de A é -2, calcule o valor do determinante da matriz 3A. A) – 8 B) – 54 C) 27 D) 18 E) – 2 Resolução: Para resolvermos a questão, vamos utilizar uma das propriedades das determinantes: Onde n é a ordem da matriz quadrada. Desta propriedade temos que: Resposta: B Questão 2 (PM AC – Funcab). Considerando a matriz quadrada A abaixo, e det(A) seu determinante, calcule o valor de 5.det(A). A) 10 B) -140 C) 270 D) 130 E) -35 Resolução: Calculando o determinante de uma matriz 2×2: DetA = 7.4 – 2.(-13) = 28 + 26 = 54 Logo, 5.DetA = 5.54 = 270 Resposta: C Questão 3 (PM PR – Cops). Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B. Essa trajetória é dada pela equação: a) x – y = 0 b) x + y – 5 = 0 c) x – 2y + 2 = 0 d) 2x + 2y – 8 = 0 e) x + 2y – 6 = 0 Resolução: A equação pode ser descoberta calculando o determinante da matriz abaixo, que relaciona os pontos P(x,y), A(2,2) e B(4,1): Fazendo o produto das diagonais principais menos o produto das diagonais secundárias: 2x + 4y + 2 – 8 – x – 2y = 0 x + 2y – 6 = 0 Resposta: E Questão 4 (RFB 2009 – Esaf). Com relação ao sistema onde pode-se, com certeza, afirmar que: a) é impossível b) é indeterminado c) possui determinante igual a 4 d) possui apenas a solução trivial e) é homogêneo Resolução: Podemos separar a segunda igualdade em duas: 2x – y = 3z + 2 => 2x – y – 3z = 2 2x + y = z + 1 => 2x + y – z = 1 Temos então três equações: x + y + z = 1 2x – y – 3z = 2 2x + y – z = 1 Que podem ser associadas a matriz: Vamos calcular seu determinante: Det = 1.(-1).(-1) + 1.(-3).2 + 1.2.1 – 2.(-1).1 – 1.(-3).1 – (-1).2.1 Det = 1 – 6 + 2 +2 + 3 + 2 Det = 4 Resposta: C Questão 5 (ANAC – ESAF 2016). Dada a matriz A abaixo, o determinante da matriz 2A é igual a: a) 40. b) 10. c) 18. d) 16. e) 36. Resolução: Temos duas formas de resolver a questão. Podemos calcular o determinante da matriz A e depois utilizar a propriedade P3 que se encontra em nosso material didático, ou calcular diretamente o determinante da matriz 2A. Vamos resolvê-la pelo primeiro método, utilizando a regra de Sarrus: DetA = 2.1.4 + 1.1.0 + 3.1.1 – 0.1.3 – 1.1.2 – 4.1.1 DetA = 8 + 0 + 3 – 0 – 2 – 4 DetA = 5 Utilizando a propriedade citada: Det2A = 2³.DetA Det2A = 8.5 Det2A = 40 Resposta: A Questão 6 (PM ES – AOCP). Para saber o custo total (em reais) na produção de x uniformes para um grupo de soldados, primeiramente substitui-se cada elemento x, da matriz a seguir, pela quantidade de uniformes que se quer produzir e calcula-se o determinante dessa matriz, obtendo-se, assim, o custo total na produção destes x uniformes igual ao valor do determinante. Dessa forma, para se produzir 70 uniformes para um grupo de soldados, o custo total nessa produção será de (A) R$ 4.100,00. (B) R$ 3.500,00. (C) R$ 3.100,00. (D) R$ 2.500,00. (E) R$ 2.100,00. Resolução Calculando o determinante: Det = x.(-x).1 + 1.100.0 + 0.0.(-1) – 0.(-x).0 – (-1).100.x – 1.0.1 Det = -x² + 100.x Quando x = 70, temos: Det = -70² + 100.70 Det = -4900 + 7000 Det = 2100 Resposta: E Questão 7 (UP). Considerando a matriz abaixo, qual é o valor de k? a) 1 b) 2 c) -1 d) 0 Resolução Temos uma matriz 3×3, cujo determinante pode ser calculado da seguinte forma: 1.k.2 + 5.3.0 + (-2).(-1).0 – 0.k.(-2) – 0.3.1 – 2.(-1).5 = 10 2k + 0 + 0 – 0 – 0 + 10 = 10 2k = 10 – 10 2k = 0 k = 0 Resposta: D Procurando exercícios resolvidos sobre determinantes? Deixe o seu comentário. |