Sabendo que b(4 3) é o ponto médio de

O segmento de reta é um subconjunto da reta, é parte da reta.
Ao contrário da reta, o segmento é finito, possuindo começo e fim, podendo ser medido. Mesmo sendo finito, ele possui infinitos pontos e o ponto que divide o segmento de reta em duas partes de mesmo tamanho é chamado de ponto médio.

Vamos determinar as coordenadas do ponto médio do segmento PQ da figura.

Assim, o ponto médio tem coordenadas:

Exemplo 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB de extremos A(1, 9) e B(7, 5).
Solução: Temos que

Portanto, o ponto médio do segmento AB tem coordenadas M(4 , 7)

Exemplo 2. O ponto médio do segmento PQ tem coordenadas M(5, 5). Sabendo que o ponto P tem coordenadas P(3, 4), quais são as coordenadas do ponto Q?

Solução: Sabemos que

Segue que

Portanto, o ponto Q tem coordenadas (7, 6).

Exemplo 3. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AM, sabendo que M é o ponto médio do segmento AB, sendo A(0, 0) e B(– 12, 20).

Solução: Primeiro determinaremos as coordenadas do ponto M. Como M é ponto médio do segmento AB, temos que:

Logo, M tem coordenadas (– 6, 10).

Queremos determinar o ponto médio do segmento AM. Vamos chamar esse ponto de N. Assim,

Portanto, o ponto médio do segmento AM tem coordenadas N(– 3, 5).

Videoaulas relacionadas:

1ª Lista de Fundamentos de Geometria Analítica 1 Plano Cartesiano 01. O ponto A(a, -b), sendo a e b números reais, pertence ao 3º quadrante. A quais quadrantes pertencem os pontos B(-a, b), c(-a, -b) e D(a, b)? 02. Determine o valor de n, de forma que o ponto A(10, 2n – 4) pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares. 03. Determine o valor de p, de forma que o ponto B(4p + 2, 6) pertença à bissetriz dos quadrantes pares. Distância entre dois pontos 04. Calcule a distância entre os seguintes pontos: a) A(0, -2) e B(-6, -10) b) C(-3, -1) e D(9, 4) c) E(-3, 7) e F(5, 1) d) G(-2, 5) e H(4, -3) 05. Calcule a distância do ponto P(3, -4) à origem do sistema cartesiano. 06. Calcule a distância entre os pontos A(a – 2, b + 8) e B(a + 4, b). 07. Calcule o perímetro do triângulo ABC, sendo dados A(3, 1), B(-1, 1) e C(-1, 4). 08. Dados A(x, 3), B(-1, 4) e C(5, 2), obtenha x de modo que A seja equidistante de B e C. 09. Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2, -1) e B(3, 5). 10. Determine o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de A(0, 1) e B(-2, 3). 11. Determine os valores de x para os quais a distância entre os pontos A(x + 2, -3) e B(3, x – 3) é 5. 12. O ponto P tem coordenadas iguais e dista cinco unidades do ponto Q(3, 2). Quais as coordenadas de P? Ponto médio de um segmento 13. Dados os pontos A(5, -2), B(3, 0), C(1/2, -5) e D(-8, -3/4), determine aos coordenadas do ponto médio dos segmentos: a) AB b) AD c) BD d) AC e) CD 14. Sabendo-se que os pontos A(x, y), B(-3, 2) e M(3, 5) são colineares, e M é o ponto médio de AB, determine as coordenadas do ponto A. 15. Sabendo que B(4, 3) é o ponto médio de AC, tal que A está sobre o eixo das abscissas e C sobre o eixo das ordenadas, determine as coordenadas de A e de C. 16. O ponto A(-4, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto médio é M(-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento. 17. Os pontos A(-4, 6), B(-2, 1) e C(3, 3) são vértices de um retângulo ABCD. Determine as coordenadas do vértice D e do ponto de intersecção de suas diagonais. 18. Seja um triângulo cujos vértices são os pontos A(-2, 5), B(3, 2) e C(5, -7). Calcule o comprimento da mediana que parte do vértice C. 19. Dado AB, em que A(-3, 4) e B(6, 7), determine as coordenadas do ponto P de modo que AP seja o dobro de PB. 20. Dados os pontos A(2, 4) e B(6, 2), determine: a) as coordenadas do ponto M, médio de AB; b) as coordenadas do ponto C, sendo B o ponto médio do segmento AC; c) as distâncias d(A, B) e d(A, C) Ponto Divisor 21. Obtenha os pontos que dividem o segmento de extremos A(1, 2) e B(13, 20) em três partes congruentes. 22. Dados os pontos A(1, 4) e B(9, 12), obtenha o ponto P(x, y) de modo que AP = 3PB. Gabarito 01. B pertence ao 1º quadrante, C ao 4º quadrante e D ao 2º quadrante. 02. n = 703. 03. p = -2 04. a) 10, b) 13, c) 10, d) 10 05. 5 06. 10 07. 12 08. x = 2 09. P(29/2, 0) 10. P(-3/2, 3/2) 11. 4 ou -3 12. (6, 6) ou (-1, -1) 13. a) (4, -1) b) (-3/2, -11/8) c) (-5/2, -3/8) d) (11/4, -7/2) e) (-15/4, -23/8) 14. A(9, 8) 15. A(8, 0) e B(0, 6) 16. (2, -9) 17. D(1, 8) e (-1/2, 9/2) 18. 2 583 19. P(3, 6) 20. a) (4, 3) b) (10, 0) c) d(A, B) = 2 5 e d(A, C) = 4 5 21. (5, 8) e (9, 14) 22. P(7, 10)

O ponto médio de um segmento de reta é aquele que o divide em dois outros segmentos congruentes entre si, isto é, de mesmo comprimento.

Dado um segmento de reta $\overline{AB}$ no plano cartesiano, as coordenadas dos pontos $A$, $B$ e $M$ são:

$$A(x_A,y_A) \quad , \quad B(x_B,y_B) \quad , \quad M(x_M,y_M)

Se $M$ é o ponto médio do segmento $\overline{AB}$, então temos que:

$$\overline{AM} = \overline{MB}

E a razão $r$ entre os segmentos é dada por:

$$r = \frac{\overline{AM}}{\overline{MB}} = 1

Pois a razão entre duas quantidades iguais é a unidade.

Para encontrarmos a distância entre dois pontos, fazemos uma subtração:

$$d_{AB} = B-A

Assim, para as coordenadas $x$, fazemos:

$$\overline{AM}=\overline{MB}\\\ \\x_M - x_A = x_B-x_M\\\ \\x_M+x_M = x_A+x_B\\\ \\2x_M = x_A+x_B\\\ \\\boxed{x_M = \frac{x_A+x_B}{2}}$$

E para as coordenadas $y$, fazemos:

$$\overline{AM}=\overline{MB}\\\ \\y_M - y_A = y_B-y_M\\\ \\y_M+y_M = y_A+y_B\\\ \\2y_M = y_A+y_B\\\ \\\boxed{y_M = \frac{y_A+y_B}{2}}

Dado o segmento $\overline{AB}$, sendo $A(6,3)$ e $B(-2,-1)$, encontrar as coordenadas do ponto médio.

$$x_M = \frac{x_A+x_B}{2}=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\ \\y_M = \frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1

Assim, as coordenadas do ponto médio do segmento $\overline{AB}$ são:

$$M(2,1)

Dado um triângulo $ABC$, sendo $M$ p ponto médio de $\overline{AB}$ e $N$ o ponto médio de $\overline{BC}$, calcular o perímetro do triângulo sabendo que $A(2,4)$, $M(1,2)$ e $N(-1,1)$.

Se $M$ é o ponto médio de $\overline{AB}$, então:

$$ \begin{matrix}x_M=\cfrac{x_A+x_B}{2} & && y_M = \cfrac{y_A+y_B}{2}\\1=\cfrac{2+x_B}{2} && & 2 = \cfrac{4+y_B}{2}\\3 = 2 + x_B && & 4 = 4 + y_B\\x_B = 0 & && y_B=0\end{matrix}

Portanto, $B(0,0)$.

Se $N$ é o ponto médio do semento $\overline{BC}$, então:

$$ \begin{matrix}x_N=\cfrac{x_B+x_C}{2} && & y_N = \cfrac{y_B+y_C}{2}\\-1=\cfrac{0+x_C}{2} && & 1 = \cfrac{0+y_C}{2}\\x_C = -2 & && y_C=2\end{matrix}

Portanto, $C(-2,2)$.

O perímetro $P$ é dado pela soma dos três lados do triângulo. Utilizamos a fórmula para calcular a distância entre dois pontos no plano:

O lado $AB$ mede:

Siga também o blog pelo canal no Telegram.

Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.