A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.
O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?
Tentativa e erro
Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:
Qual a raiz quadrada de v196?
Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:
11 * 11 = 121
12 * 12 = 144
13 * 13 = 169
14 * 14 = 196
É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.
Cálculo por fatoração
A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:
Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:
Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:
Veja outro exemplo com v1225:
Desmembrando o número temos:
Raiz quadrada não exata
Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:
7,1 * 7,1 = 50,41
7,2 * 7,2 = 51,84
7,3 * 7,3 = 53,29
7,4 * 7,4 = 54,76
O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.
Veja outro exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:
14,1 * 14,1 = 198,81
14,2 * 14,2 = 201,64
14,3 * 14,3 = 204,49
14,4 * 14,4 = 207,36
14,5 * 14,5 = 210,25
14,6 * 14,6 = 213,16
14,7 * 14,7 = 216,09
14,8 * 14,8 = 219,04
Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:
14,71 * 14,71 = 216,38
14,72 * 14, 72 = 216,67
14,73 * 14,73 = 216,97
14,74 * 14,74 = 217,26
14,75 * 14,75 = 217,56
14,76 * 14,76 = 217,85
14,77 * 14,77 = 218,15
Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.
O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.
Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:
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Saber como calcular raiz quadrada sem calculadora é realmente necessário? Muitas pessoas acham que já que as calculadoras calculam raiz quadrada, já não é mais necessário realizar esse cálculo à mão. No entanto, saber como calcular uma raiz quadrada sem usar calculadora pode ser bastante útil. De fato, na maioria das provas de hoje não se pode usar calculadora e certas questões podem requerer que você calcule uma raiz quadrada, como por exemplo, calcular o discriminante $\Delta $ de uma equação do 2º grau. Uma outra razão para se aprender a calcular raiz quadrada sem calculadora é para entender de fato o que é uma raiz quadrada, ou seja, se familiarizar mais com esse conceito. Se você quer saber como calcular uma raiz quadrada sem usar calculadora, você está no lugar certo. Vamos relembrar o que é uma raiz quadrada. Imagine a seguinte situação: você tem um terreno em forma de quadrado cuja área é de 144 $\mbox{m}^2$ e gostaria de saber o comprimento de um lado desse terreno. O que você precisa fazer? Primeiro, precisa saber que encontrar a area de um quadrado, basta multiplicar o comprimento do lado por ele mesmo. Segundo, você vai se perguntar qual o número que multiplicado por ele mesmo vai ser igual a 144. Para achar essa resposta, você precisa extrair a raiz quadrada de 144. Mas o que é raiz quadrada de um número $a$? Se $b^2=a$, dizemos que $b$ é uma raiz quadrada de $a$. Em outras palavras, $b$ é uma raiz quadrada de $a$ se quando multiplicado por ele mesmo, o valor é igual a $a$. Exemplos: (1) Sabemos que $4^2=4\cdot 4=16$. Logo, 4 é raiz quadrada de 16. (2) $12^2=144$. Assim, 12 é uma raiz quadrada de 144 e o comprimento do lado terreno descrito acima é de 12 m. Observe que $(-4)^2=(-4)(-4)=16$, ou seja, $-4$ também é uma raiz quadrada de 16. Na verdade, todos os números positivos têm duas raízes quadradas: uma raiz quadrada positiva (ou raiz quadrada principal) e uma raiz quadrada negativa. Por exemplo, representamos as raízes quadrada positiva e negativa de 16 por $\sqrt{16}=4$ e $-\sqrt{16}=-4$, respectivamente. As raízes quadradas são representadas pelo símbolo de radical $\sqrt{\phantom{x}}$. O número ou expressão dentro de um símbolo de radical é chamado de radicando. Um outro conceito que você deve estar familiarizado é o de quadrado perfeito. Um número é um quadrado perfeito se suas raízes quadradas são números inteiros ou quociente de números inteiros. Exemplo: (1) 121 é um quadrado perfeito, pois $\sqrt{121}=11$ (2) 1,69 é um quadrado perfeito, pois $\sqrt{1,69}=1,3=\dfrac{13}{10}$. As raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos devem ser escritos usando o símbolo de radical ou aproximadamente. Vamos ver agora duas propriedades dos radicais: a propriedade do produto e a propriedade do quociente. A propriedade do produto diz o seguinte: a raiz quadrada de um produto é igual ao produto das raízes quadradas dos fatores, ou seja, $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},$$ onde $a\geq 0$ e $b\geq 0$. Exemplo: $\sqrt{25\cdot 16}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{16}$ A propriedade do quociente diz: a raiz quadrada de um quociente é igual ao quociente das raízes quadradas do numerador e denominador, isto é, $$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},$$ onde $a\geq 0$ e $b>0.$ Exemplo: $\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}$. Agora que você já relembrou o que é raiz quadrada e as propriedades dos radicais, vamos então aos métodos de como calcular uma raiz quadrada sem usar calculadora. Esse método consiste em tentar adivinhar a raiz quadrada de um número. Tal processo de adivinhação segue uma ordem pré-estabelecida que mostraremos a seguir. A principal ideia aqui nesse método vem do fato que, se $a^2<n<b^2$, então $a<\sqrt{n}<b$. Por exemplo, já que 30 está entre 25 ($5^2$) e 36 ($6^2$), então $\sqrt{30}$ está entre 5 e 6. Vou te mostrar agora o passo a passo de como calcular uma raiz quadrada de um número $n$, usando o método da tentativa e erro. 1º passo: Encontrar um quadrado perfeito próximo de $n$ e em seguida extraia a raiz quadrada $x$ desse número. Esse será seu 1º palpite. 2º passo: Se $x^2>n$, tente usar um número menor do que $x$ e se $x^2<n$, tente usar um número maior do que $x$. Esse será o seu 2º palpite. 3º passo: Repita o 2º passo até encontrar um par de números inteiros de modo que a raiz quadrada procurada se encontra entre eles. Depois tente décimos e centésimos, quantas casas decimais você quiser. Vamos ver isso na prática? Estime a raiz quadrada de 710 até uma casa decimal por tentativa e erro. Solução: Vamos seguir o passo a passo descrito acima. Primeira coisa a ser feita é encontrar dois inteiros consecutivos entre os quais está $\sqrt{710}$. Para fazer isso, observe que $20^2=400$ e $30^2=900$. Assim, $\sqrt{710}$ está entre 20 e 30. Que tal usarmos 25 como 1º palpite? Parece ser uma boa, não é? Vamos ver. Ora, $25^2=625$ que é menor do que 710, logo $\sqrt{710}$ é maior do que 25. Vamos tentar agora 26. Temos que $26^2=676$ que ainda é menor do que 710, por isso, $\sqrt{710}$ é maior do que 26. Agora, vamos tentar o 27. $27^2=729$ que é maior do que 710. Logo, $\sqrt{710}$ é menor do que 27. Portanto, $\sqrt{710}$ está entre 26 e 27, que são os inteiros consecutivos procurados conforme o 3º passo menciona. Continuemos agora com os décimos. Já que 710 está mais próximo de 729 do que de 676, vamos começar por valores mais próximos de 27 do que de 26. Vamos tentar 26,8. Temos que $(26,8)^2=718, 24$ que é maior do que 710. Vejamos 26,7. $$(26,7)^2=712, 89$$. Agora, 26,6. Temos $(26,6)^2=707,56$ que é menor do que 710. Portanto, $\sqrt{710}$ está entre 26,6 e 26,7. Para saber qual desses está mais próximo de $\sqrt{710}$, calculamos $(26,65)^2$ que é 710, 22 que é maior do que 710. Logo, $\sqrt{710}$ está mais próximo de $26,6$.O que É uma Raiz Quadrada
O que são as Raízes Quadrada Positiva e Negativa e o Radicando.
O que é um Quadrado Perfeito
Propriedades dos Radicais
Propriedade do Produto
Propriedade do Quociente
Método #01: Tentativa e Erro
Exemplo
O problema desse método é que você terá que fazer muitas tentativas para cada casa decimal.
Entretanto, o único tipo de cálculo que você vai ter que fazer é a multiplicação, o que pode ser feito sem grandes dificuldades.
Método #02: Usando a Fatoração em Primos
Com certeza você já viu esse método em algum lugar, pois é um dos mais tradicionais no cálculo de raiz quadrada à mão.
Para calcular uma raiz quadrada de um número usando esse método siga os seguintes passos.
1º passo: Decomponha o número em fatores primos;
2º passo: Forme pares de fatores iguais (nos casos onde o número não é um quadrado perfeito, alguns fatores ficarão sozinhos);
3º passo: Use a propriedade produto dos radicais para calcular as raízes quadradas desses fatores.
Vamos ver como se faz.
Exemplos:
(1) Encontre a raiz quadrada de 576 usando o método de fatoração em primos.
Solução:
O 1º passo é fatorar 576.
$$\begin{array}{c|c}576 & 2 \\288 & 2 \\144 & 2 \\72 & 2 \\36 & 2 \\18 & 2 \\9 & 3 \\3 & 3\\1 &\end{array}
$$
Assim, $576=2\cdot2\cdot2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$. O 2º passo é agrupar em pares os fatores semelhantes.
Dessa forma, $576=2^2\cdot 2^2\cdot 2^2\cdot 3^2$.
Por fim, temos que
\begin{eqnarray*}\sqrt{576}&=&\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3^2}\\ &=& 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\\ &=& 24\end{eqnarray*}
Portanto, a raiz quadrada de 576 é 24.
(2) Simplifique $\sqrt{20}$ usando o método de fatoração em primos.
Solução: Sabemos que $20=4\cdot 5=2^2\cdot 5$. Assim, $$\sqrt{20}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{5}=2\sqrt{5}.$$
Essa é a forma simplificada de $\sqrt{20}$ e isso é o máximo que vamos conseguir usando esse método.
Se você quiser estimar $\sqrt{20}$, pode usar o método anterior para achar um valor aproximado para $\sqrt{5}$ e multiplicar por 2 ou aplicar o método diretamente a $\sqrt{20}$.
Método #03: Método dos Babilônios
Também conhecido como método de Heron, é o método mais antigo para se calcular raiz quadrada.
Nesse método, também é feito uma série de aproximações, mas diferente do primeiro método, só precisamos dar um primeiro palpite e o método nos dirá qual será o próximo número.
A ideia desse método é baseada no fato que se $n=ab$ e $a<\sqrt{n}$, então $b>\sqrt{n}$. Assim, se $x$ é um primeiro palpite que está de um lado de $\sqrt{n}$, então $\dfrac{n}{x}$ estará do outro lado, isto é, $$\mbox{se}\;x<\sqrt{n}, \;\mbox{então}\;\frac{n}{x}>\sqrt{n}$$ ou $$ \mbox{se}\;x>\sqrt{n}, \;\mbox{então}\;\frac{n}{x}<\sqrt{n},$$ e em seguida a média aritmética de $x$ e $\dfrac{n}{x}$. Dessa forma, o resultado estará próximo de $\sqrt{n}$.
Vamos ao passo a passo desse método.
1º passo: Encontre o quadrado perfeito mais próximo de $n$ e use sua raiz quadrada $x$ como 1ª aproximação.
2º passo: Calcule $\dfrac{x+\frac{n}{x}}{2}$ e use o resultado como 2ª aproximação.
3º passo: Repita o 2º passo até que a diferença entre uma aproximação e a próxima seja tão pequena quanto você queira.
O valor exato de $\sqrt{n}$ estará sempre entre uma aproximação e a próxima.
Exemplo: Estime a raiz quadrada de 710 até a primeira casa decimal usado o método dos babilônios.
Solução: Como vimos anterior $\sqrt{710}$ está entre 20 e 30. Vamos começar fazendo $x=25$.
A próxima aproximação será \begin{eqnarray*}\frac{25+\frac{710}{25}}{2}&=&\frac{25+28,4}{2}\\&=&\frac{53,4}{2}=26,7.
\end{eqnarray*}
E a próxima é
\begin{eqnarray*}\frac{26,7+\frac{710}{26,7}}{2}&=&\frac{26,7+26,59}{2}\\&=&\frac{53,29}{2}\\&=& 26,645
\end{eqnarray*}
Portanto, $\sqrt{710}\approx 26,6$.
A vantagem desse método é que ele melhora suas estimativas muito rapidamente. A cada passo ele dobra o número de dígitos corretos. Nesse exemplo, chegamos a $\sqrt{710}\approx 26,645$. Se usarmos uma calculadora, obtemos $\sqrt{710}=26,6458251889… .$
Por outro lado, esse método requer divisão por números com muitas casas decimais. Por isso, como queremos que tudo seja feito à mão, podemos usar arredondamentos com duas casas decimais como fizemos no exemplo acima.
Método #04: Método para Quadrados Perfeitos
Esse método é um truque usado para calcular de forma rápida uma raiz quadrada de um quadrado perfeito.
Embora esse método funcione para números com mais de 6 dígitos, vamos calcular aqui raízes quadradas de quadrados perfeitos de 3, 4 e 5 dígitos.
Antes de conhecer esse método, vamos relembrar os quadrados dos números de 1 a 9.
\begin{eqnarray*}1^2&=&1\\2^2&=&4\\3^2&=&9\\4^2&=&16\\5^2&=&25\\6^2&=&36\\7^2&=&49\\8^2&=&64\\9^2&=&81\\
\end{eqnarray*}
O que vai nos interessar aqui é o algarismo da unidade. Observe que os possíveis algarismos da unidade de um quadrado perfeito são 1, 4, 5, 6 e 9.
Por exemplo, se o algarismo da unidade de um quadrado perfeito for 6 então o algarismo da unidade da raiz quadrada será 4 ou 6.
Raiz Quadrada de um Quadrado Perfeito de 3 Dígitos
Vou te mostrar na prática como calcular raiz quadrada de um quadrado perfeito de 3 dígitos usando esse método rápido.
Exemplo 1
Calcule a raiz quadrada do quadrado perfeito 729.
Solução: Primeiro observe que a raiz quadrada de 729 consistirá de dois dígitos.
Como o algarismo da unidade nesse caso é 9, os possíveis algarismos da unidade da raiz quadrada será 3 ou 7.
Agora, desconsidere os dois últimos dígitos de 729 e olhe para o primeiro dígito que nesse caso é 7.
Qual o quadrado perfeito mais próximo que é menor ou igual do que 7? É o 4 que é igual a $2^2$.
Portanto, o algarismo da dezena é o 2.
Assim, a raiz quadrada de 729 ou é 23 ou 27.
Como saber qual das duas é a resposta certa?
Você toma o 2, que é o algarismo da dezena, multiplica pelo seu sucessor 3 para obter 6 como resultado.
Como 7 (o 1º dígito de 729) é maior do que 6, então você tomará o maior entre 3 e 7, que é o 7.
Logo, a raiz quadrada de 729 é o 27.
Exemplo 2
Calcule a raiz quadrada de 576.
Solução: O algarismo da unidade aqui é 6. Logo, o algarismo da unidade da raiz quadrada é 4 ou 6.
Agora, esqueça os dois últimos dígitos e olhe somente para o primeiro.
O quadrado perfeito mais próximo e que é menor ou igual a 5 é $4=2^2$.
Por isso, o algarismo da dezena na raiz quadrada é o 2.
Por fim, temos que decidir entre 24 e 26.
Como 5 (1º dígito de 576) é menor que $6 =2\cdot 3$, então o algarismo da unidade será o menor entre 4 e 6.
Assim, a raiz quadrada de 576 é 24.
Raiz Quadrada de um Quadrado Perfeito de 4 Dígitos
Vamos aplicar esse método para calcular raízes quadradas de quadrados perfeitos de 4 dígitos.
Exemplo 1: Calcular a raiz quadrada de 1225.
Solução: Já que o algarismo da unidade é o 5, então a única possibilidade para o dígito da unidade da raiz quadrada é também 5.
Agora, como fizemos antes, vamos esquecer os dois últimos dígitos e olhar para os dois primeiros, 12.
Qual o quadrado perfeito mais próximo e que é menor ou igual a 12? Exatamente, o 9, que é igual a $3^2$.
Portanto, o algarismo da dezena da raiz quadrada é o 3 e, por isso, $\sqrt{1225}=35$.
Exemplo 2: Calcule a raiz quadrada de 1089.
Solução: Siga os seguintes passos:
- O dígito da unidade é 9, logo o dígito da unidade da raiz quadrada ou é 3 ou é 7;
- Esqueça os dois últimos dígitos e considere os dois primeiros, que nesse caso é 10;
- Encontre o quadrado perfeito mais próximo que é menor do que ou igual a 10, que nesse caso é o $9=3^2$.
Chegamos à conclusão que a raiz quadrada de 1089 ou é 33 ou 37.
Para saber qual resposta é a certa, tome o 3 e multiplique pelo o seu sucessor 4. Você obtém 12 como resultado.
Agora, compare 10 (os dois primeiros dígitos de 1089) e 12 (o resultado que você obteve agora a pouco).
Como 10 é menor do que 12, a raiz quadrada de 1089 é portanto o menor dentre os números 33 e 37, ou seja, $$\sqrt{1089}=33.$$
Exemplo 3
Calcule a raiz quadrada de 4624.
Solução: O algarismo da unidade da raiz quadrada ou é 2 ou é 8.
Vamos esquecer os dois últimos dígitos e consideramos os dois primeiros que é 46.
O quadrado perfeito mais próximo de 46 é $36=6^2$. Portanto, 6 é o algarismo da dezena da raiz quadrada.
Multiplicando 6 pelo seu sucessor, obtemos 42.
Como 46 é maior do que 42, a raiz quadrada procurada é o maior dentre os números 62 e 68, que é 68.
Raiz Quadrada de um Quadrado Perfeito de 5 Dígitos
Vamos ver como usar esse método em um número de 5 dígitos.
Exemplo
Calcular a raiz quadrada de 64009.
Solução: A raiz quadrada nesse caso terá 3 dígitos.
Como o algarismo da unidade nesse caso é 9, o algarismo da unidade da raiz quadrada é 3 ou 7.
Agora, desconsidere os dois últimos dígitos e olhe para os três primeiros, a saber, 640.
O quadrado perfeito mais próximo de 640 é 625 que é igual a $25^2$. Assim, o algarismo da centena da raiz quadrada é 2 e da dezena é 5.
Assim, a raiz quadrada de 64009 ou é 253 ou 257.
Para saber qual desses é a resposta correta, multiplicamos 25 pelo seu sucessor 26 para obter 650.
Como 640 é menor do que 650, a resposta correta é o menor dos números 253 e 257, ou seja, $$\sqrt{64009}=253.$$
Conclusão
Como você pôde ver nesse artigo, calcular uma raiz quadrada sem usar uma calculadora é totalmente possível.
Você viu que alguns métodos, apesar de não requererem conhecimentos superiores de matemática, são trabalhosos.
Mas há outros que se você praticar bastante, poderá levar alguns segundos para calcular raízes quadradas, até mentalmente se você quiser.
Saber algum desses métodos vai te ajudar em momentos que o uso da calculadora não for permitido, então procure praticar bastante esses métodos.
Procure exemplos, e tente calcular raízes quadradas de vários números e use uma calculadora para comparar os resultados.
E então, o que você achou desse conteúdo? Qual método você mais gostou? Já usou algum desses métodos antes?
Deixe um comentário abaixo!
Até o próximo artigo!