A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.
O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?
Tentativa e erro
Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:
Qual a raiz quadrada de v196?
Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:
11 * 11 = 121
12 * 12 = 144
13 * 13 = 169
14 * 14 = 196
É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.
Cálculo por fatoração
A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:
Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:
Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:
Veja outro exemplo com v1225:
Desmembrando o número temos:
Raiz quadrada não exata
Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:
7,1 * 7,1 = 50,41
7,2 * 7,2 = 51,84
7,3 * 7,3 = 53,29
7,4 * 7,4 = 54,76
O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.
Veja outro exemplo:
Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:
14,1 * 14,1 = 198,81
14,2 * 14,2 = 201,64
14,3 * 14,3 = 204,49
14,4 * 14,4 = 207,36
14,5 * 14,5 = 210,25
14,6 * 14,6 = 213,16
14,7 * 14,7 = 216,09
14,8 * 14,8 = 219,04
Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:
14,71 * 14,71 = 216,38
14,72 * 14, 72 = 216,67
14,73 * 14,73 = 216,97
14,74 * 14,74 = 217,26
14,75 * 14,75 = 217,56
14,76 * 14,76 = 217,85
14,77 * 14,77 = 218,15
Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.
O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.
Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:
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Somente os números considerados quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata, como por exemplo, o número 64 possui raiz quadrada igual a 8, pois 8² = 64. Então, dizemos que ele é um número quadrado perfeito. Observe outros algarismos considerados quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,...
Quando a raiz é negativa O que fazer?
A raiz de um número é calculada descobrindo qual número multiplicado por ele mesmo resultada no valor da raiz. ... Por exemplo, sabemos que a raiz quadrada de 25 (√25) é 5, pois 5 x 5 = 25. Com base nessa propriedade, não podemos determinar a raiz de −25, pois (−5) x (−5) = + 25.
Como resolver uma raiz quadrada não exata?
O cálculo de raízes não exatas pode ser feito por meio da fatoração, fato garantido pelo teorema fundamental da aritmética e propriedades dos radicais. Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes.
Quais são os resultados das raízes?
A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente.
Qual a raiz de um número negativo?
Quando tratamos de raízes quadradas no universo dos números reais, podemos afirmar que não existem raízes de números negativos, pois não existem dois números reais onde o produto seja um número negativo.
Quais áreas podem ser editadas no Word?
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Como remover a trava de edição do Word?
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Como remover a proteção de edição do Word?
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Como restaurar a configuração do registro no Word?
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A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.
Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?
Radiciação
Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.
A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.
Elementos da radiciação
A operação é representada por:
n→ índice
a→ radicando
b→ raiz
Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.
Calculando a raiz quadrada
O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.
Tipos de raiz quadrada
Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.
Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.
Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.
Calcule a raiz quadrada de 3600.
Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.
Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.
Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.
Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.
Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.
Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.
6,1² = 37,21
6,2²= 38,44
6,3²=39,69
6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.
Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.
Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver
Interpretação geométrica da raiz quadrada
Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².
Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.
O lado do quadrado é de 13 metros.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?
A) 8,1
B) 8,2
C) 8,3
D) 8,4
E) 8,5
Resolução
Alternativa D.
Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:
8,1²= 65,61
8,2²= 67,24
8,3²= 68,89
8,4²= 70,56
8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.
Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?
Resolução
Alternativa C.
a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.
b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.
c) Não possui raiz exata
d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.
e) Possui raiz exata igual a 1.