Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais. Show O símbolo significa “semelhante”. Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes. Razão de semelhançaA razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança. Exemplo: Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes: Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais. Note que . A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC. Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades: 1. reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo. 2. simétrica: se o é semelhante ao , então o é semelhante ao . 3. transitiva: se o é semelhante ao , e é semelhante a outro , então o é semelhante ao . Teorema fundamentalSe houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes. Casos de semelhançaPara se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada. Caso AA (Ângulo, Ângulo)Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes. Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes. Caso LLL (Lado, Lado, Lado)Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais. Razão entre áreasA razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles. Observe a pequena demonstração: A área do triângulo ABC será: . A área do triângulo DEF será: . Dividindo a área do primeiro pela do segundo temos: Mas, como os triângulos são semelhantes, temos que . Assim: Portanto, teremos que: Congruência de triângulosDois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes. e . Exemplo: 1. As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores de e x e y: Observando os lados e os ângulos, os lados homólogos são: AB e DE, AC e DF, BC e EF. Assim, para encontrar y fazemos: Para encontrar x fazemos: Referências bibliográficas: DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995. RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Semelhança de triângulos. Vol. 2. São Paulo: Bernoulli. |