O binômio de Newton foi desenvolvido pelo físico e matemático Isaac Newton, que fez grandes contribuições para o desenvolvimento das ciências. Chamamos de binômio de Newton o cálculo de um polinômio com dois termos elevado a um número natural qualquer. Show Durante a resolução de problemas que envolvem polinômios, percebeu-se que existia uma regularidade quando se calculava a potência de um binômio. Foi então que Newton desenvolveu um método para encontrar a solução de um binômio elevado a um expoente natural. Para essa solução, recorre-se ao triângulo de Pascal. É possível também encontrar, com base na fórmula do termo geral de um binômio, coeficientes e termos de forma individual, sem necessariamente calcular-se todo o binômio. Leia também: Multiplicação de polinômios – como resolver? Fórmula do binômio de NewtonNa matemática, um polinômio com dois termos é conhecido também como binômio. Em problemas da astronomia, entre outras aplicações, nas disciplinas de física, química e na própria matemática, é bastante comum deparar-se com uma potência de um binômio. Acontece que, para calcular-se uma potência de um binômio elevado a um expoente natural, quanto maior for o expoente, mais difícil será encontrar a potência. O binômio de Newton, então, é uma construção que busca resolver as seguintes potências:
Note que quanto maior for o expoente do binômio, mais difícil será a tarefa de calcular-se a potência. Acontece que Newton desenvolveu um método mais prático para encontrar os binômios, pela fórmula: Exemplo: Calcule (a + b)5 1º passo: vamos substituir na fórmula o valor de n = 5. 2º passo: vamos calcular os coeficientes que são combinações. Nesse segundo passo, é necessário lembrar como se calcula uma combinação de dois números. A fórmula para calcular-se a combinação é: Então calcularemos cada umas das combinações: 3º passo: substituir as combinações pelos resultados encontrados: (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab4 + 1b5 Veja também: Como calcular o MMC de polinômios? Triângulo de PascalNa fórmula do binômio de Newton, se conhecermos o triângulo de Pascal, não será necessário realizarmos o cálculo das combinações. Para isso basta construir do triângulo de Pascal. Acontece que os coeficientes do binômio de Newton estão diretamente relacionados com as linhas do triângulo de Pascal. O triângulo é construído com base nas combinações, conforme a figura seguinte: Começando sempre pela linha zero, podemos construir quantas linhas forem necessárias para encontrarmos as combinações que queremos. Acontece que, a fim de encontrar os resultados, existe um método prático para a construção do triângulo de Pascal, o que significa que teremos os resultados das combinações sem necessariamente utilizarmos a fórmula de combinação. Para substituir as combinações por números no triângulo, vamos lembrar que a combinação de um número com zero é sempre 1 e que também a combinação de um número com ele mesmo é sempre 1, logo, a primeira coluna é sempre igual a 1 e o último termo da linha é sempre igual a 1 também. 1 1 1 1 x1 1 1 x2 x3 1 1 x4 x5 x6 1 1 x7 x8 x9 x10 1 1 x11 x12 x13 x14 x15 1 Aqui vamos construir até a linha 7, mas o método de construção para as demais linhas continua o mesmo. Agora vamos encontrar os termos centrais, começando pelo x1. Para encontrarmos o falo de x1, faremos a soma do termo que está acima dele na mesma coluna com o termo que está acima dele na coluna anterior, assim: 1 1 1 1 x1 1 1 x2 x3 1 1 x4 x5 x6 1 1 x7 x8 x9 x10 1 1 x11 x12 x13 x14 x15 1 Então temos que: x1 = 1 + 1 = 2 1 1 1 1 2 1 1 x2 x3 1 1 x4 x5 x6 1 1 x7 x8 x9 x10 1 1 x11 x12 x13 x14 x15 1 Usando o mesmo raciocínio, vamos encontrar x2 e x3. 1 1 1 1 2 1 1 x2 x3 1 1 x4 x5 x6 1 1 x7 x8 x9 x10 1 1 x11 x12 x13 x14 x15 1 Então temos que: x2 = 1 + 2 = 3 x3 = 2 + 1 = 3 Substituindo pelos valores encontrados na linha 3, usaremos o mesmo raciocínio para encontrar os termos da linha 3, x4, x5 e x6. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 x4 x5 x6 1 1 x7 x8 x9 x10 1 1 x11 x12 x13 x14 x15 1 x4 = 1 + 3 = 4 x5 = 3 + 3 = 6 x6 = 3 + 1 = 4 Realizando as substituições na linha 4, temos que: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 x7 x8 x9 x10 1 1 x11 x12 x13 x14 x15 1 Repetindo o processo para as demais linhas, é possível completá-las: linha 0: 1 linha 1: 1 1 linha 2: 1 2 1 linha 3: 1 3 3 1 linha 4: 1 4 6 4 1 linha 5: 1 5 10 10 5 1 linha 6: 1 6 15 20 15 6 1 Relacionando-os com o binômio de Newton, note que os valores encontrados para a linha 5 são os mesmos encontrados quando calculamos as combinações no exemplo (a + b)5. Acesse também: Fatorial – multiplicação de números naturais consecutivos Termo geral do binômio de NewtonA fórmula do termo geral permite que calculemos um termo do binômio de Newton sem a necessidade de desenvolvê-lo totalmente. É possível identificar qualquer um dos termos de um binômio pela fórmula: a: primeiro termo b: segundo termo n: expoente p + 1: termo procurado Exemplo: Encontre o 10º termo do binômio (x + 2)¹¹. Dados: n = 11 a = x b = 2 p + 1 = 10 → p = 9 Substituindo na fórmula, temos que: Agora calculando a combinação: Então temos que: Exercícios resolvidosQuestão 1 - O coeficiente de a5 no polinômio (a + 4)7 é: A) 21 B) 16 C) 336 D) 112 E) 121 Resolução Alternativa C. Queremos encontrar um termo em específico na resolução do binômio, então para isso precisamos saber o valor de p. Sabemos que o primeiro termo nesse caso é o a, então n – p = 5. Como n = 7, então p = 2, e sabemos que b = 4. Substituindo esses dados na fórmula, temos que: Questão 2 - Dado o binômio (x + y)6, a soma dos seus coeficientes é igual a: A) 24 B) 32 C) 44 D) 52 E) 64 Resolução Alternativa E. Construindo o triângulo de Pascal, a sua sexta linha é igual a: 1 6 15 20 15 6 1 Então a soma 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 |