Função seno exercícios resolvidos com gráficos

Vamos estudar nesta página a função seno, uma das funções trigonométricas, apresentando a sua definição e o gráfico, chamado de senoide.

É importante que o aluno possua um conhecimento considerável sobre trigonometria na circunferência e também sobre funções.

Bom estudo!

DEFINIÇÃO

Dado um ângulo de medida x, representado em radianos, chamamos de função seno a relação que associa x ∈ R ao seno desse ângulo x, denotado por sen(x).

Representando esta função:

f: R → R

f(x) = senx

GRÁFICO

Para termos uma ideia inicial de como é o gráfico da função seno vamos lançar no plano cartesiano os pontos conhecidos descritos na tabela abaixo:

Veja que desenhamos o gráfico da função seno apenas no intervalo [0, 2π]. Isso porque a cada intervalo de tamanho 2π o gráfico se repete. Dizemos neste caso que 2π é o período da função, e se refere justamente ao comprimento da circunferência trigonométrica. Toda vez que ela dá uma volta, temos um período.

Assim, o gráfico, no plano cartesiano, será uma curva em formato de onda, denominada senoide. Veja:

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO SENO

• O domínio é o conjunto dos números reais R;
• A imagem é o intervalo [-1, 1];
• O período da função é de 2π.

Já vimos que as relações trigonométricas são exploradas para um círculo, que chamamos de círculo trigonométrico. Isso explica por que essas funções são periódicas, já que à medida que vamos dando voltas no círculo, vamos voltando a encontrar os mesmos valores para o y.

Agora estamos preparados para falar de cada uma das funções trigonométricas.

Função Seno

A função seno será dada por

Como falamos anteriormente, os valores possíveis para o estarão dentro do ciclo trigonométrico, que está representado abaixo:

Vamos relembrar alguns detalhes importantes do círculo trigonométrico: o eixo é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos cossenos. Além disso, em radianos, uma volta completa no círculo vale e as medidas dos ângulos começam a partir do ponto vermelho e indo pra cima, no sentido anti-horário.

Com isso, podemos dizer que o seno terá valores extremos para ângulos de (ponto mais alto do círculo) e (ponto mais baixo do círculo), onde a função vale:

A função ficará oscilando entre esses valores, sendo que não há nenhuma indeterminação no intervalo e isso se repete indefinidamente.

Dessa forma, já podemos afirmar que o domínio da função seno (valores possíveis para o ) é o conjunto dos números reais, ou:

Já para a imagem (valores resultantes em , vimos que a função vai estar sempre entre -1 e 1. Isso significa que

Lembrando que teremos isso quando .

Mas e se tivermos

Perceba que, nesse caso, todos os valores de que tínhamos anteriormente vão ser multiplicados por 2, isso significa que agora nossa função terá valores máximo e mínimos em , respectivamente.

Isso vai acontecer sempre que tivermos a função seno multiplicada por uma constante, então podemos generalizar:

Para .

Ah, mas por que precisa ser diferente de zero?

Simplesmente porque zero multiplicado por qualquer coisa será igual a zero e nesse caso, a função valeria zero para qualquer valor de .

Para esboçar o gráfico da função seno, vamos usar alguns valores conhecidos da função usando os chamados “ângulos notáveis” e algumas relações do círculo trigonométrico. Juntei tudo nessa tabelinha abaixo:

Agora, marcando esses pontos no gráfico e ligando para formar nossa curva, teremos essa belezinha aqui

E um fato extremamente interessante é que essa curva continua se repetindo indefinidamente, à medida que aumentamos ou diminuímos os valores de x:

Obs: Esse de qualquer função trigonométrica SEMPRE será dado em radianos, assim como fazemos no círculo trigonométrico. Não se esqueça disso!!!

Observe que o gráfico se repete de em o que isso significa?

O PERÍODO DA FUNÇÃO SENO É !!!

Mas qual será o período de uma função como essa daqui:

Para achar o período da função, pegamos o argumento, que é tudo que fica dentro do seno, substituímos o pelo que é a letra que representa o período e igualamos isso a , que é o período da função . Olha só:

Vamos comparar os gráficos!

Repara que a curva azul, que representa , se repete duas vezes no intervalo que a vermelha, que representa repete uma só. Isso acontece porque o período de é a metade do período de !

Mas e se tivéssemos

Repetindo aquele procedimento, temos

E quando temos números somando ou subtraindo dentro do seno, podemos ignorar esse valor! Igualamos a só a parte que multiplica . Então,

O termo que soma apenas desloca a função um pouquinho pro lado, mas o período é o mesmo. Vamos dar uma olhada no gráfico!

Função Cosseno

A função cosseno é dada por:

Ela funciona de um jeito MUITO parecido com a função seno, então muito do que vimos até aqui podemos estender pra função cosseno, por exemplo: o domínio da função cosseno também é dado pelo conjunto dos números reais:

E, assim como o seno, os valores que saem da função também oscilam entre , por isso a imagem também é:

E quando tivermos uma constante multiplicando a função, ficamos com:

O gráfico dessa belezinha será igual ao do seno, mas um pouco deslocado e nós montamos ele da mesma forma que fizemos no da função seno, mas agora usando os valores que temos para o cosseno. Observe que temos os mesmos números aparecendo nas duas funções, só que em lugares diferentes:

Marcando esses pontos num gráfico, temos

E se expandirmos a construção desse gráfico para a esquerda e direita, temos

A função cosseno também é periódica, se repetindo a cada , que é a medida de uma volta completa no círculo trigonométrico, assim como o seno! E da mesma forma, se o argumento da função cosseno mudar, a gente pode calcular o período fazendo o mesmo procedimento: