Fatoração de equação do 2 grau - exercícios resolvidos

Para equações quadráticas do tipo $latex a{{x}^2}+bc+c=0$, podemos seguir os seguintes passos:

Passo 1: Expanda a expressão e elimine todas as frações, se necessário.

Passo 2: Mova todos os termos para o lado esquerdo do sinal de igual.

Passo 3: Fatorare a equação separando o termo do meio.

Passo 4: Resolva a equação linear para cada fator.

Resolva a equação $latex 2(x^2+1)=5x$.

Solução: Começamos expandindo e movendo todos os termos para a esquerda do sinal de igual:

$latex 2(x^2+1)=5x$

⇒  $latex 2x^2+2=5x$

⇒  $latex 2x^2-5x-2=0$

Em seguida, separamos o termo do meio para fatorar:

⇒  $latex 2x^2-4x-x-2=0$

⇒  $latex (x-2)(2x-1)=0$

Agora, podemos definir cada fator igual a zero e resolver:

⇒  $latex (x-2)=0$   e   $latex (2x-1)=0$

⇒  $latex x=2$   e   $latex x=\frac{1}{2}$

Resolva a equação $latex 3x^2-8x-5=0$.

Solução: Neste caso, não temos nada para expandir e todos os termos já estão à esquerda, então começamos separando os termos do meio e fatorando:

$latex 3x^2-8x-5=0$

⇒  $latex 3x(x-3)+1(x-3)=0$

⇒  $latex (3x+1)(x-3)=0$

Agora, podemos definir cada fator igual a zero e resolver:

⇒  $latex (3x+1)=0$   e   $latex (x-3)=0$

⇒  $latex x=-\frac{1}{3}$   e   $latex x=3$

Resolva a equação $latex (2x-3)^2=25$.

Solução: Começamos expandindo a equação para obter:

$latex 4x^2-12x+9-25=0$

⇒  $latex 4{{x}^2}-12x-16=0$

Agora, podemos dividir a expressão inteira por 4 e fatorar:

⇒  $latex {{x}^2}-3x-4=0$

⇒  $latex (x-4)(x+1)=0$

Agora, podemos definir cada fator igual a zero e resolver:

⇒  $latex (x-4)=0$   e   $latex (x+1)=0$

⇒  $latex x=4$   e   $latex x=-1$

Existem vários métodos para fatorar polinômios quadráticos. Nossa abordagem aqui será fatorar polinômios quadráticos nos quais o coeficiente de x² é 1 ou maior que 1.

Portanto, usaremos tentativa e erro para obter os fatores corretos para fatorar as equações quadráticas.

Fatore polinômios de grau 2 quando o coeficiente de x² for igual a 1

Para fatorar uma equação quadrática da forma $latex {{x}^2}+bx+c$, onde o coeficiente líder é 1, precisamos identificar dois números de modo que seu produto seja igual a c e sua soma seja igual a b.

Caso 1: Quando b e c são ambos positivos

Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}+5x+6=0$.

Solução: Listamos os fatores de 6: 1×6,  2×3.

Agora identificamos os fatores com um produto de 6 e uma soma de 5:

1+6≠5

2+3=5

Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:

$$(x+2)(x+3)={{x}^2}+2x+3x+6$$

$latex ={{x}^2}+5x+6$

Então, a equação fatorada é:

$latex (x+2)(x+3)=0$

Agora, podemos definir cada fator igual a zero e resolver:

⇒  $latex (x+2)=0$   e   $latex (x+3)=0$

⇒  $latex x=-2$   e   $latex x=-3$

Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}+8x+16=0$.

Solução: Identificamos os fatores que produzem um produto de 16 e uma soma de 8:

4×4=16   e   4+4=8

Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:

$$(x+4)(x+4)={{x}^2}+4x+4x+16$$

$latex ={{x}^2}+8x+16$

A equação fatorada é:

$latex (x+4)(x+4)=0$

Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:

⇒  $latex (x+4)=0$   e   $latex (x+4)=0$

⇒  $latex x=-4$

Caso 2: Quando b é positivo e c é negativo

Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}+4x-5=0$.

Solução: Começamos escrevendo os fatores de -5:  -1×5,  1×-5.

Identificamos os fatores que produzem um produto de -5 e uma soma de 4:

-1+5=4

1-5≠4

Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:

$$(x-1)(x+5)={{x}^2}-x+5x+-5$$

$latex ={{x}^2}+4x-5$

A equação fatorada é:

$latex (x-1)(x+5)=0$

Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:

⇒  $latex (x-1)=0$   e   $latex (x+5)=0$

⇒  $latex x=1$   e    $latex x=-5$

Caso 3: Quando b e c são negativos

Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}-2x-8=0$.

Solução: Começamos escrevendo os fatores de -8:  -1×8,  1×-8,  -2×4, 2×-4.

Identificamos os fatores que produzem um produto de -8 e uma soma de -2:

2-4=-2

Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:

$$(x+2)(x-4)={{x}^2}+2x-4x-8$$

$latex ={{x}^2}-2x-8$

A equação fatorada é:

$latex (x+2)(x-4)=0$

Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:

⇒  $latex (x+2)=0$   e   $latex (x-4)=0$

⇒  $latex x=-2$   e    $latex x=4$

Caso 4: Quando b é negativo e c é positivo

Fatore e resolva a equação $latex {{x}^2}-7x+10=0$.

Solução: Começamos escrevendo os fatores de 10:  -1×-10,  -2×-5.

Identificamos os fatores que produzem um produto de 10 e uma soma de -7:

-2-5=-7

-1-10≠-7

Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:

$$(x-2)(x-5)={{x}^2}-2x-5x+10$$

$latex ={{x}^2}-7x+10$

A equação fatorada é:

$latex (x-2)(x-5)=0$

Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:

⇒  $latex (x-2)=0$   e   $latex (x-5)=0$

⇒  $latex x=2$   e    $latex x=5$

Fatore polinômios de grau 2 quando o coeficiente de x² for maior que 1

Em muitos casos, o coeficiente líder será diferente de 1, portanto, não seremos capazes de fatorar essas equações quadráticas com os métodos comuns que acabamos de ver. Portanto, devemos levar em consideração o coeficiente de $latex {{x}^2}$ e os fatores de c para encontrar números que têm uma soma igual a b.

Fatore e resolva a equação $latex 2{{x}^2}-14x+20=0$.

Solução: Nesse caso, começamos procurando se temos fatores comuns na expressão. Aqui, podemos extrair os 2:

⇒   $latex 2({{x}^2}-7x+10)=0$

Agora, podemos encontrar os fatores de $latex ({{x}^2}-7x+10)$. Portanto, escrevemos os fatores de 10: -1×-10 ,  -2×-5.

Identificamos os fatores que produzem uma soma de -7:

-2-5=-7

-1-10≠-7

Verificamos os fatores usando a propriedade distributiva:

$$2(x-2)(x-5)=2({{x}^2}-2x-5x+10)$$

$latex =2({{x}^2}-7x+10)$

$latex =2{{x}^2}-14x+20$

A equação fatorada é:

$latex 2(x-2)(x-5)=0$

Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:

⇒  $latex (x-2)=0$   e   $latex (x-5)=0$

⇒  $latex x=2$   e    $latex x=5$

Fatore e resolva a equação $latex 7{{x}^2}+18x+11=0$.

Solução: Escrevemos os fatores de 7 e 11:

1×7=7

1×11=11

Aplicamos a propriedade distributiva para verificar os fatores:

$$(7x+1)(x+11)\ne 7{{x}^2}+18x+11$$

$$(7x+11)(x+1)=7{{x}^2}+18x+11$$

A equação fatorada é:

$latex (7x+11)(x+1)=0$

Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:

⇒  $latex (7x+11)=0$   e   $latex (x+1)=0$

⇒  $latex x=-\frac{11}{7}$   e    $latex x=-1$

Fatore e resolva a equação $latex 9{{x}^2}+6x+1=0$.

Solução: Seguindo o mesmo processo dos exemplos anteriores, podemos obter a equação fatorada:

$latex (3x+1)(3x+1)=0$

Definimos cada fator igual a zero e resolvemos

⇒  $latex (3x+1)=0$  e   $latex (3x+1)=0$

⇒  $latex x=-\frac{1}{3}$

Fatore e resolva a equação $latex 6{{x}^2}-7x+2=0$.

Solução: Podemos começar separando o meio termo:

$latex 6{{x}^2}-4x-3x+2=0$

E agora seguimos o mesmo processo dos exemplos anteriores:

$latex 2x(3x-2)-1(3x-2)=0$

$latex (3x-2)(2x-1)=0$

Definimos cada fator igual a zero e resolvemos:

⇒  $latex (3x-2)=0$   e   $latex (2x-1)=0$

⇒  $latex x=\frac{2}{3}$    e    $latex x=\frac{1}{2}$

Veja também

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