Estudando matemática para concursos? Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre a elipse, todos retirados dos últimos concursos públicos. Não deixe de ver também nossos exercícios resolvidos sobre os outros tópicos da geometria analítica. Bom estudo! Questão 1 (IFB – 2017). Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse. a) (13, 0) e (– 13, 0) b) (0, 13) e (0, – 13) c) (12, 0) e (– 12, 0) d) (0, 12) e (0, – 12) e) (5, 0) e (– 5, 0) Resolução Como sabemos, em toda elipse vale a relação a² = b² + c², onde 2a é a distância do eixo maior, 2b é a distância do eixo menor e 2c é a distância entre os focos. Pelas informações fornecidas pelo enunciado, temos que a = 13 e b = 5. Veja no desenho abaixo:  a² = b² + c² 13² = 5² + c² 169 = 25 + c² c² = 169 – 25 c² = 144 c = 12 Como c = 12, os focos da elipse são (0,12) e (0,-12). Resposta: D Questão 2 (ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (−2,1). b) A medida do seu eixo maior é 25. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4. e) Sua excentricidade é 0,8. Resolução Nosso primeiro passo é descobrir se a equação realmente representa uma elipse. Nossa estratégia será completar os quadrados. 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0 9x² – 36x + 36 – 36 + 25y² + 50y + 25 – 25 − 164 = 0 (3x – 6)² + (5y + 5)² – 225 = 0 (3x – 6)² + (5y + 5)² = 225 9.(x – 2)² + 25.(y + 1)² = 225 Dividindo ambos os lados da equação por 225: Daí, podemos concluir que trata-se de uma elipse de centro (2, -1), com a=5 e b=3. Eixo maior = 2a = 10 Eixo menor = 2b = 6 Podemos calcular o valor de c através da seguinte relação: a² = b² + c² 5² = 3² + c² 25 = 9 + c² c² = 25 – 9 c² = 16 c = √16 c = 4 Distância focal = 2c = 8 Calculando a excentricidade: c/a = 4/5 = 0,8 Resposta: E Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre a elipse? Deixe o seu comentário.
Estudando matemática para concursos? Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre a cônica hipérbole, todos retirados dos últimos concursos públicos. Não deixe de ver também nossos exercícios resolvidos sobre os outros tópicos da geometria analítica. Bom estudo! Questão 1 (Petrobrás – Cesgranrio 2010). Os vértices imaginários da hipérbole de equação abaixo são: a) (2,1) e (2,3) b) (2,0) e (2,2) c) (2,0) e (1,2) d) (1,1) e (1,2) e) (1,0) e (1,2) Resolução O primeiro passo é identificar as informações contidas na equação da hipérbole: O centro é (1,1) a = 2 e b = 1 Com as informações acima, podemos desenhar a seguinte hipérbole: Nele é possível observar que os eixos imaginários B1 e B2 são, respectivamente, (1,2) e (1,0). Resposta: E Questão 2 (IDECAN). Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. a) 4x2 – 9y2 – 16x – 36y +16 = 0 b) 2x2 – 3y2 – 16x – 36y + 16 = 0 c) 4x2 – 9y2 + 16x – 36y – 16 = 0 d) 4x2 − 5y2 − 16x – 36y + 16 = 0 e) 4x2 – 16x – 36y + 16 = 0 Resolução Localizando os vértices (2,0) e (2,-4), e o foco (2, -2 + √13), é possível fazer um esboço da hipérbole: A equação geral de uma hipérbole deste tipo é: Onde (x0,y0) é o centro e as medidas “a” e “b” representam metade dos eixos real e imaginário, respectivamente. Na imagem é possível observar que o centro da hipérbole é o ponto (2,-2), a=2, e que: c = -2 + √13 + 2 = √13 Em toda hipérbole vale a seguinte relação: c² = a² + b² √13² = 2² + a² 13 = 4 + a² a² = 13 – 4 a² = 9 a = √9 a = 3 Voltando a equação geral: Multiplicando a equação por 36 e simplificando, temos: 4x2 – 9y2 – 16x – 36y +16 = 0 Resposta: A Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre a hipérbole? Deixe o seu comentário.
Quando você terminar as questões sobre Hipérbole, faça nosso Simulado Enem. Coloque em prática todo o seu estudo, escolhendo as matérias que deseja treinar. As Hipérboles são estudadas por um campo da matemática denominado de Geometria Analítica A Geometria Analítica estuda o objeto matemático, figura geométrica, forma, entre outros, que possam ser representados no espaço geometricamente por um desenho ou algebricamente por uma fórmula. A geometria analítica une a geometria com a álgebra, permitindo a criação de fórmulas matemáticas. Neste post aprenderemos a resolver questões envolvendo Hipérbole, que são figuras geométricas específicas, e ao final você colocará seu conhecimento em prática com exercícios sobre Hipérbole. O que é Hipérbole?Considere F¹ e F2² como sendo dois pontos diferentes do plano e 2c a distância existente entre eles. A Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, onde a diferença, em valor absoluto, das distâncias à F¹ e F² é a constante 2a (0 <2a <2c). Para conseguir entender o parágrafo anterior e os próximos tópicos, veja a figura abaixo:
1° caso – Onde a hipérbole possui os focos sobre o eixo x e centro sobre a origem de um plano cartesiano: 2° caso – Onde a hipérbole também possui centro na origem, mas seus focos estão sobre o eixo y do plano cartesiano: Que tal testar seu conhecimento com exercícios sobre Hipérbole? Assim você pode se certificar que entendeu esse conteúdo tão valioso para o ENEM. Baixe gratuitamente o Plano de Estudos do Beduka e tenha uma preparação perfeita para o ENEM. Aliás, Parabéns por ter lido até aqui. Você teve uma sábia decisão e está pronto para fazer as questões dos melhores vestibulares do país que separamos para você! Questão 1 – (UFAM) Os pontos A(4, 0) e B(0, 6) são extremos de um diâmetro da circunferência. Então, a equação reduzida da circunferência é: a) x2 + y2 – 6x – 4y = 0 b) x2 + y2 – 4x – 6y = 0 c) x2 + y2 + 4x – 6y = 0 d) x2 + y2 + 4x + 6y = 0 e) x2 + y2 – 6x + 4y = 0 Questão 2 – (PUC-Rio) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 – 1 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Questão 3 – (IFPB) Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. a) 4x² – 9y² – 16x – 36y +16 = 0 b) 2x² – 3y² – 16x – 36y + 16 = 0 c) 4x² – 9y² + 16x – 36y – 16 = 0 d) 4x² − 5y² − 16x – 36y + 16 = 0 e) 4x² – 16x – 36y + 16 = 0 Questão 4 – (FUMARC 2013) Um artista recebeu uma encomenda para fazer um painel, esculpindo em uma chapa de aço folhas e flores. Para determinar o formato do painel, o artista considerou a chapa de aço como um plano cartesiano cujos eixos a dividiram em quatro quadrantes. Utilizou um segmento de reta e o deslocou nesse plano cartesiano, de tal forma que uma das extremidades permanecia sempre no eixo y e o seu ponto médio permanecia sempre no eixo x. Dessa maneira, o formato da figura desenhada pela outra extremidade é uma a) elipse. b) parábola. c) hipérbole. d) circunferência. Questão 5 – (Petrobrás – Cesgranrio 2010) Os vértices imaginários da hipérbole de equação abaixo são: a) (2,1) e (2,3) b) (2,0) e (2,2) c) (2,0) e (1,2) d) (1,1) e (1,2) e) (1,0) e (1,2) Questão 6 – (IDECAN) Dados dois pares ordenados (2,-4) e (2,0) que representam os vértices de um hipérbole de foco (2, -2 + √13), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. a) 4x2 – 9y2 – 16x – 36y +16 = 0 b) 2x2 – 3y2 – 16x – 36y + 16 = 0 c) 4x2 – 9y2 + 16x – 36y – 16 = 0 d) 4x2 − 5y2 − 16x – 36y + 16 = 0 e) 4x2 – 16x – 36y + 16 = 0 Gabarito dos Exercícios sobre HipérboleExercício resolvido da questão 1 – Alternativa correta: b) x2 + y2 – 4x – 6y = 0 Exercício resolvido da questão 2 – Alternativa correta: c) 2 Exercício resolvido da questão 3 – Alternativa correta: a) 4x² – 9y² – 16x – 36y +16 = 0 Exercício resolvido da questão 4 – Alternativa correta: a) elipse. Exercício resolvido da questão 5 – Alternativa correta: e) (1,0) e (1,2) Exercício resolvido da questão 6 – Alternativa correta: a) 4x2 – 9y2 – 16x – 36y +16 = 0 Estude para o Enem com o Simulado Beduka. É gratuito! Gostou dos nossos Exercícios sobre Hipérbole? Compartilhe com os seus amigos e comente abaixo sobre as áreas que você deseja mais explicações. Queremos te ajudar a encontrar a FACULDADE IDEAL! Logo abaixo, faça uma pesquisa por curso e cidade que te mostraremos todas as faculdades que podem te atender. Informamos a nota de corte, valor de mensalidade, nota do MEC, avaliação dos alunos, modalidades de ensino e muito mais. |
Exercícios resolvidos de hipérbole é elipse
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