Nesse caso temos o lançamento de dois dados. O espaço amostral será determinado pelo produto entre os eventos decorrentes de cada universo de resultados possíveis. No dado, o espaço amostral é composto de 6 eventos e como são dois dados temos que o espaço amostral terá 6 x 6 elementos, totalizando 36.No lançamento dos dois dados as possibilidades de parceria entre as faces para que a soma seja 6, será:(1 e 5), (5 e 1), (2 e 4), (4 e 2), (3 e 3).No lançamento de dois dados a probabilidade de obte
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Top 6: Lista de Exercícios sobre Probabilidade condicional
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Descrição: Nesse caso temos o lançamento de dois dados. O espaço amostral será determinado pelo produto entre os eventos decorrentes de cada universo de resultados possíveis. No dado, o espaço amostral é composto de 6 eventos e como são dois dados temos que o espaço amostral terá 6 x 6 elementos, totalizando 36.No lançamento dos dois dados as possibilidades de parceria entre as faces para que a soma seja 6, será:(1 e 5), (5 e 1), (2 e 4), (4 e 2), (3 e 3).No lançamento de dois dados a probabilidade de obte
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Considerando um dado honesto (ou seja, um em que todas as faces possuem a mesma chance de ocorrência), vamos analizar como se comportam as probabilidades de sair o número indicado na face superior. Inicialmente, iremos focar em apenas um lançamento de um dado cúbico de 6 faces. Posteriormente iremos tratar de múltiplos lançamentos e de dados com mais ou menos faces. Mas antes, vamos nos lembrar de alguns conceitos básicos de probabilidade antes de começar:
Suponhamos que um experimento (neste caso um lançamento um dado honesto) seja realizado sob certas condições fixas. Define-se o espaço amostral desse experimento como o conjunto de todos os resultados possíveis e denota-se por \(\Omega\).
No caso do lançamento de um dado de seis faces, o nosso espaço amostral é \(\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6 \}\), pois esses são os únicos resultados possíveis.
Um evento A é um subconjunto do espaço amostral, com \(A\subset\Omega\). Se atribuirmos um valor de probabilidade a esse evento, ele será dito aleatório. Analogamente, no lançamento de um dado de seis faces, os possíveis eventos são:
- \(A_1=\{1\}\);
- \(A_2=\{2\}\);
- \(A_3=\{3\}\);
- \(A_4=\{4\}\);
- \(A_5=\{5\}\);
- \(A_6=\{6\}\).
Vale ressaltar que os eventos, neste caso, são equiprováveis, ou seja, todos os eventos possuem a mesma chance de ocorrer, já que o dado é honesto.
Seja \(\Omega\) um espaço amostral finito e A um evento, com \(A\subset\Omega\). A probabilidade de ocorrência do evento A é dada por: \(P(A)=\frac{A}{\Omega}\). Deste modo, podemos calcular a chance de ocorrer um resultado favorável no lançamento de um dado de seis faces.
Digamos que você esteja apostando com o seu amigo qual face irá cair virada para cima no lançamento de um dado. Você acha que será o número 5, enquanto o seu amigo acredita que será o número 2. A chance de ocorrer o evento \(A=\{5\}\) é de \(\frac{1}{6}\), já que há apenas um resultado em que o dado cairá com o número 5 com a face para cima. Similarmente, seu amigo possui a mesma chance de ganhar (\(\frac{1}{6}\)), pois o dado é honesto, e há apenas um resultado em que ele cairá com o número 2 com a face para cima.
Agora, considere que você e seu amigo estão lançando o dado duas vezes e estão apostando qual o valor da soma dos dois lançamentos. Como escolher em qual número apostar?
Vamos começar analisando o nosso espaço amostral. Como agora estamos lançando o dado duas vezes, vejamos quais são os possíveis resultados:
\(\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\)
\((2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\)
\((3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),\)
\((4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),\)
\((5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),\)
\((6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}\).
Com isso, percebemos que o nosso espaço amostral agora possui 36 possíveis resultados. Vamos agora somar todos os valores do primeiro com o segundo lançamento de todos os eventos possíveis, e criar um segundo espaço amostral, desta vez com as somas como resultados:
\(\Omega=\{2,3,4,5,6,7,\)
\(3,4,5,6,7,8,\)
\(4,5,6,7,8,9,\)
\(5,6,7,8,9,10,\)
\(6,7,8,9,10,11,\)
\(7,8,9,10,11,12\}\)
Agora que possuímos todos os valores das somas de todos os possíveis resultados, vamos analisar quais as chances de cada número ganhar:
#Vamos primeiro criar um vetor com todas as possíveis somas: soma<-c(2,3,4,5,6,7,3,4,5,6,7,8,4,5,6,7,8,9,5,6,7,8,9,10,6,7,8,9,10,11,7,8,9,10,11,12) #Para facilitar a visualização, vamos organizar esses valores: soma<-sort(soma) soma ## [1] 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 ## [26] 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12 #Para descobrirmos o valor mais repetido, vamos encontrar a moda deste espaço amostral (Como o R não apresenta uma função de moda de maneira nativa, tive que criar a função para poder calcular): getmode <- function(v) { uniqv <- unique(v) uniqv[which.max(tabulate(match(v, uniqv)))] } moda<-getmode(soma) moda ## [1] 7 #Agora, vamos criar um gráfico de barras para analizar a frequência de cada valor somado: tab<-table(soma) barplot(tab,col="blue",xlab = "Valor da soma",ylab="Frequência")
Como se pôde ver com auxílio do gráfico, o número 7 é o valor que mais se repete no espaço amostral, com 6 repetições em 36 possíveis resultados. Outros valores, como o 5 (que possui apenas 5 repetições) ou o 3 (que possui 3 repetições) são menos prováveis de se obter do que o 7. Com isso, agora você já sabe em qual valor apostar para ter mais chances de ganhar o jogo contra o seu amigo.
Sejam dois eventos A e B subconjuntos do espaço amostral \(\Omega\), tais que \(A\subset\Omega\) e \(B\subset\Omega\). A probabilidade da interseção dos dois eventos (a chance de ocorrência de ambos os eventos) é dada por: \(P(A\cap B)=P(A)*P(B)\). Vale ressaltar que isso sóé possível se os eventos A e B forem independentes (o resultado do lançamento de um dado não interfere no resultado do seguinte, o que mostra que o lançamento de um dado duas vezes é um evento independente).
Por exemplo, em um dado honesto de 6 faces, qual a probabilidade de o resultado de um lançamento ser um número par e menor do que 5?
A partir da fórmula, podemos calcular essa probabilidade. Já sabemos o espaço amostral \(\Omega\), logo, vamos definir os eventos separadamente. Seja o evento A a ocorrência de valor par. Com isso, temos que \(A=\{2,4,6\}\) e que \(P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\). Agora, seja o evento B a ocorrência de número menor que 5. Com isso, temos que \(B=\{1,2,3,4\}\) e que \(P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).
Como já sabemos a chance de se ocorrerem, separadamente, os eventos A e B, vamos calcular as chances de ocorrer ambos:
\(P(A\cap B)=P(A)*P(B)=\frac{1}{2}*\frac{2}{3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
Logo, a chance de o resultado de um lançamento de um dado ser par e menor que 5 é \(\frac{1}{3}\). Mas e se nós já soubéssemos de antemão que o resultado era menor que 5, qual seria a chance de o resultado ser par?
Chamamos esse caso de probabilidade condicional, pois já sabemos que ocorreu um evento, e ele se torna nosso novo espaço amostral. Para se calcular o valor de \(P(A\vert B)\) (lê-se probabilidade de A, dado B), usamos a fórmula: \(P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\).
No caso apresentado,já sabemos que o número é menor do que 5, e a probabilidade disso ocorrer é \(\frac{2}{3}\). Com isso, o nosso espaço amostral, que era \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) agora é \(\Omega_B=\{1,2,3,4\}\). O valor \(P(A)=\frac{1}{2}\) não se alterou, já que ele mostra a chance de um número ser par, baseado no espaço amostral original. Agora, calculando a chance de ocorrer A, sendo que B já ocorreu, temos:
\(P(A\vert B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}*\frac{3}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
Os dados mais comuns que existem são os que possuem formato de cubo, com 6 faces. Mas existem outros tipos de dados que não possuem essa forma.
Um dado que está cada vez mais ganhando espaço no mercado é o icosaedro, formado por 20 lados triângulares, devido ao seu uso em sessões de RPG ao redor do mundo. Ele oferece um espaço amostral muito maior do que os dados comvencionais, o que aumenta as possibilidades de uso.
Os outros dados que podem ser utilizados são os de 4,8 e 12 lados (tetraedro, octaedro e dodecaedro). Mas por que não fazer com qualquer número de lados, por exemplo 100?
Isso se deve ao fato de que esses sólidos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) são os únicos sólidos platônicos, que são completamente honestos devido à sua simetria. Quaisquer outro sólido não será balanceado, e possuirá viés em seus lançamentos.
E como se comportam as probabilidades desses dados não-cúbicos? Simples: como sabemos que todos eles são balanceados e que, para cada lançamento, todas as faces possuem a mesma chance de caírem voltadas para cima, a chance de um certo número escolhido ser o vencedor é de \(\frac{1}{n}\), com \(n=\) número de faces do dado.
Por exemplo, a chance de um dado em formato de icosaedro (d20, para os mais íntimos) cair com o número 20 virado para cima é de \(\frac{1}{20}\). Vale ressaltar que todas as propriedades de cálculo de probabilidades (Interseção de eventos, probabilidade condicional etc) também se aplicam a dados não-cúbicos.