Um triângulo é uma figura geométrica que possui três lados, três ângulos e três vértices. Os triângulos possuem diversas propriedades, uma delas diz respeito aos seus ângulos internos: independentemente das dimensões do triângulo, do seu formato, do comprimento de seus lados ou da medida de seus ângulos internos, a soma desses ângulos internos sempre será igual a 180°.
Em outras palavras, se ABC é um triângulo, e a, b e c são seus ângulos internos, como podemos exemplificar com a imagem a seguir:
Então, podemos escrever corretamente a soma:
a + b + c = 180°
Geralmente, essa igualdade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, mas sim para determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo, quando as medidas dos outros dois são conhecidas.
Exemplo: Qual a medida do terceiro ângulo interno de um triângulo que possui dois ângulos internos iguais a 30° e a 90°?
Solução:
30° + 90° + x = 180° x = 180° – 30° – 90°
x = 60°
O terceiro ângulo mede 60°.
Demonstração
Considere o triângulo ABC, com ângulos a, b e c, como o da figura a seguir:
Construa sobre o ponto C uma reta paralela ao lado AB desse triângulo.
Reta paralela ao lado AB no triângulo ABC
Observe que os lados AC e BC podem ser encarados como retas transversais, que cortam as duas retas paralelas. Os ângulos x e y formados nessa construção são, respectivamente, alternos internos com os ângulos a e b. Assim, x = a e y = b.
Agora, note que a soma x + c + y = 180°, pois os três ângulos são adjacentes e seus limites são a reta paralela ao lado AB. Assim, substituindo os valores de x e y, teremos:
a + b + c = 180°
Exemplos:
1º Exemplo – Determine a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo a seguir.
Solução:
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, basta fazer:
x + 2x + 3x = 180° 6x = 180°
x = 180°
x = 30°
Como os ângulos internos são múltiplos de x, cada um deles mede:
x = 30°, 2x = 60° e
3x = 90°
2º Exemplo – Um triângulo tem um de seus ângulos internos com a medida exatamente igual ao triplo das medidas dos outros dois, que são congruentes. Quanto mede cada um dos ângulos internos desse triângulo?
Solução:
Para resolver esse problema, considere que os dois ângulos congruentes medem x e o outro ângulo mede 3x. Como a soma dos ângulos internos é igual a 180°, teremos:
x + x + 3x = 180° 5x = 180°
x = 180°
5x = 36°.
Como x é a medida dos dois ângulos congruentes, já sabemos que eles medem 36°. O terceiro ângulo é o triplo disso, portanto, mede:
3x = 3·36 = 108°
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