Determine o valor de a b quando a 2 ² eb 2⁵

• Felpopinha
• há 1 ano
• Matemática
• 144

RESPONDER

Dados a e b reais e m e n naturais, as seguintes propriedades são válidas: 

Observação: para expoentes iguais a zero, convencionou-se que a a0 = 1, com a diferente de zero.

2. Potência com expoente inteiro negativo 

3. Potência com expoente racional fracionário 

Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos.

Produto de potência de mesma base

Por Marcos Noé Pedro da Silva

FONTE: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/propriedades-das-potencias.htm

A potenciação surge como uma ferramenta de muita utilidade na representação de uma multiplicação de fatores iguais. O conhecimento dessas técnicas é indispensável no estudo da Matemática básica e suas aplicações estão presentes em diversas situações relacionadas a outras ciências como a Química, Física, Engenharia, Biologia, Economia, Matemática Financeira entre outras.

As regras de potenciação podem ser aplicadas nos números reais de forma geral, mas o conjunto numérico a ser abordado nesse estudo será o dos números racionais, aqueles escritos na forma a / b, com b ≠ 0.

Na potenciação dos números racionais devemos aplicar o expoente aos dois elementos da fração, o numerador e o denominador. Observe:

Números Racionais e Expoente Negativo

Nos casos em que o expoente é negativo, devemos trocar o sinal do expoente e inverter a base racional, isto é, o numerador passa a ser denominador e o denominador passa a ser numerador. Observe:

Por Marcos Noé Pedro da Silva

FONTE: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/potenciacao-numeros-racionais.htm

Potenciação - expoente negativo

FONTE: http://educacao.uol.com.br/matematica/expoente-negativo.jhtm

Antonio Rodrigues Neto*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Qual a diferença entre

e

? No primeiro caso, aprendemos que é 3x3=9. Mas, e no segundo? O expoente negativo causa estranhamento e, para interpretá-lo, temos que recorrer a uma das propriedades da potenciação.

A propriedade que possibilita a explicação desse fato surge na divisão entre potências em que a base do dividendo é igual à base do divisor. Essa condição permite, como forma de simplificação, subtrairmos o expoente do dividendo pelo expoente do divisor. Assim, em uma operação como

, em vez de fazermos

, teremos como opção:

.

É essencial, na aplicação dessa propriedade, estar atento para que o expoente do dividendo seja sempre subtraído pelo expoente do divisor. Se invertermos a posição dos expoentes, estaremos invertendo a ordem da operação, isto porque

, já que

.

Diferente da multiplicação - em que a ordem dos fatores não altera o produto -, na divisão, se trocarmos a ordem das posições entre o dividendo e o divisor, estaremos invertendo o resultado. Os dois exemplos anteriores estimulam esse tipo de observação:

e

.

A inversão da posição entre o dividendo e o divisor pode ser indicada pelo sinal do expoente, se a propriedade for bem aplicada. No exemplo em que

é igual

, se invertermos a ordem da operação, teremos

. Como já temos a informação de que

, podemos reescrever que

.

Estratégia para trocar o sinal

Lembrando que o inverso de

é 8, e que este pode ser escrito na forma

, podemos afirmar que inverter um número é dar-lhe uma boa cambalhota. Assim, o inverso do

é 2 e do

é

, o que nos estimula a um jogo que ajudará a construir uma regra para calcularmos potências com expoentes negativos.

Inverter a base será uma estratégia para trocarmos o sinal do expoente, uma estratégia que pode ser mostrada a partir de um exemplo bem simples, com a pergunta: qual o valor de

Um caminho de resolução bem conhecido para esse caso é fazermos

. No entanto, se aplicarmos a propriedade da potenciação, teremos outro caminho, dado por

. Analisando esses dois caminhos, conseqüências de uma mesma pergunta, concluímos que

. Uma conclusão com uma igualdade que mostra bases invertidas e expoentes de sinais trocados.

Esse tipo de conclusão, a partir dos mais variados exemplos, conduz com bastante firmeza a uma regra: podemos trocar o sinal do expoente se, simultaneamente, invertermos a base.

Poder trocar o sinal do expoente invertendo a base facilita e agiliza o cálculo de potências com expoentes negativos. As manobras matemáticas ficam mais rápidas.

Qual o valor de

? Basta invertermos a base, que passa a ser 2, trocando simultaneamente o sinal do expoente para +3 ou 3. Assim,

é igual a

. Para finalizar os exemplos, podemos fazer mais uma pergunta: Qual é o valor de

? Respondemos com

, para logo depois fazermos

.

O sinal negativo de um expoente não passa de um código que está nos alertando que a base está invertida. Com essa nova interpretação, a regra do expoente negativo se transforma em uma regra simples e fácil de ser aplicada no jogo matemático. Mas não esqueça: foi uma propriedade que a gerou.

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais Exemplos 2³ = 2 .2 .2 = 8 Você sabe também que: 2 é a base 3 é o expoente 8 é a potência ou resultado 1) O expoente é par a) (+7)² = (+7) . (+7) = +49 b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49 c) (+2)⁴ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = + 16 d) (-2)⁴ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16 Conclusão : Quando o expoente for par, a potencia é um número positivo 2) Quando o expoente for impar a) (+4)³ = (+4) . (+4) . (+4) = + 64 b) (-4)³ = (-4) . (-4) . (-4) = - 64 c) (+2)⁵ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = +32 d) (-2)⁵ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32 Conclusão : Quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base. EXERCÍCIOS 1) Calcule as potências ;

a) (+7)²= (R: +49)

EXERCÍCIOS:

FONTE: http://www.exatas.mat.br/exercicios/potenciacao.htm

1) Efetue, observando as definições e propriedades:

a) (-2)³	i)
b)	j) (0,5)³
c) 500¹	l) 15¹
d) 100º	m)
e) 0³	n)
f) 0º	o)
g)	p)
h)	q)

2) (Fuvest) O valor de

3) (Fei) O valor da expressão

4) (UECE) O valor de

5) (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão

EXERCÍCIOS RSOLVIDOS

FONTE: http://www.blogviche.com.br/2006/06/06/exercicios-resolvidos-1-potenciacao/

Exercício 1: (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Solução:

Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:

• 2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 164
• 42 = 4 x 4 = 16
• 4 = 1/ 4 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)-22
• (-4) = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo)2
• (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem)
• (-2)-4 = 1/(-2)4 = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)

Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).

Exercício 2: (FEI-SP) O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)-1:(-3) é:

a) 1
b) -5/6
c) -5/3
d) -5/2

Solução:

Todos sabem, após a leitura atenta do artigo sobre potenciação – propriedade e) -, que (-2)-1 = -1/2. Logo:

A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) – [3/(2 x 3)]

Cancelando o 3 na expressão entre colchetes (note que nas passagens das igualdades acima foram utilizadas as propriedades do produto de números relativos de mesmo sinal e a divisão de números relativos com sinais diferentes – lembram-se!):

A = (-2) – 1/2 = (-4 – 1)/2 = -5/2

Resposta d).

Exercício 3: (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 . 10-3 é:

a) 206
b) 2 . 106
c) 2 . 109
d) 20 . 10-4

Solução:

Como em um produto a ordem dos fatores não altera o resultado, podemos reescrever B como:

B = 5 . 4 . 108 . 10-3 = 20 . 108 . 10-3 = 20 . 108-3

Na última passagem utilizamos a propriedade b). E para finalizar, com o uso novamente da mesma propriedade:

B = 2 . 10 . 105 = 2 . 101+5 = 2 . 106

Resposta b).

Exercício 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10-3 x 105) / (10 x 104) é:

a) 10
b) 1000
c) 10-2
d) 10-3

Solução:

Novamente, pela propriedade b) vem que:

C = 10-3+5 / 101+4 = 102 / 105

E, pela propriedade c) temos:

C = 102-5 = 10-3

Resposta d).

Exercício 5: Se 53a = 64, o valor de 5-a é:

a) 1/4
b) 1/40
c) -1/4
d) 1/20

Inicialmente, observe que pela propriedade d):

53a = (5a)3 e que 64 = (22)3

Como os expoentes das potências são iguais, necessariamente também são suas bases. Ou se você preferir, extraindo-se a raiz cúbica dos termos, obtemos:

5a = 22 = 4

Invertendo os membros da igualdade vem:

1/5a = 1/4

E finalmente, pela propriedade e):

5-a = 1/4

Resposta a).

Questões:

FONTE: http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/potenciacao

 01.  Calcular: 23; (-2)3; ; -23

02.  Calcular: (0,2)4; (0,1)3

03.  Calcular: 2-3; (-2)-3; -2-3 

04.  O valor da expressão (-1)0 + (-6) : (-2) – 24 é: 

a) 20

b) -12

c) 19,5

d) 12

e) 10  

05.  (USF) Dadas as expressões A = -a2 – 2a + 5 e B = b2 + 2b + 5: 

a) Se a = 2 e b = -2, então A = B;

b) Se a = 2 e b = 2, então A = B;

c) Se a = -2 e b = -2, então A = B;

d) Se a = -2 e b = 2, então A = B;

e) Se a = -2 e b = 2, então A = B. 

06.  (UFSM)

Números que assustam:

* 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta.

* 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje.

* 90 milhões nascem a cada ano.

* 800 milhões passam fome.

* 8,5 é a média de filhos por mulher em Ruanda.

* 1,4% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres.

* 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas três décadas. (Fonte: ONU)  

De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, respectivamente:  

a) 568 . 109; 9 . 106; 8 . 106

b) 5,68 . 106; 9 . 106; 8 . 106

c) 568 . 107; 9 . 107; 80 . 107

d) 56,8 . 109; 90 . 109; 8 . 109

e) 568 . 108; 90 . 106; 80 . 106 

07.  (FATEC) Das três sentenças abaixo: 

I. 2x+3 = 2x . 23

II. (25)x = 52x

III. 2x + 3x = 5x

a) somente a I é verdadeira;

b) somente a II é verdadeira;

c) somente a III é verdadeira;

d) somente a II é falsa;

e) somente a III é falsa. 

 08.  Simplificando a expressão [29 : (22 . 2)3]-3, obtém-se: 

 a) 236

b) 2-30

c) 2-6

d) 1

e) a 

09.  Se 53a = 64, o valor de 5-a é: 

a) –1/4

b) 1/40

c) 1/20

d) 1/8

e) ¼ 

 10.  (FUVEST) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é: 

 a) 0,0264

b) 0,0336

c) 0,1056

d) 0,2568

e) 0,6256 

 Resolução:

 01. 23 = 8; (-2)3 = -8; -23 = -8

02. (0,2)4 = 0,0016; (0,1)3 = 0,001

 03. 2-3 = 0,125; (-2)-3 = -0,125; -2-3 = -0,125 

Exercícios de Expressão Numéricas com Potenciação

Calcule:

1) 3 + 5² = (R:28)

2) 3² + 5² = (R:34)

3) 5² - 3² = (R:16)4

4) 18 – 7º = (R:17)

5) 5³ - 2² = (R:121)

6) 10 + 10² = (R:110)

7) 10³ - 1¹ = (R:999)

8) 2³ x 5 + 3² = (R:49)

9) 3 x 7¹ - 4 x 5º = (R:17)

10) 5² + 3 x 2 – 4 = (R:27)

11) 5 x 2² + 3 – 8 = (R:15)

12) 5² - 3 x 2² - 1 = (R:12)

13) 16 : 2 – 1 + 7² = (R:56)

14) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R:13)

15) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R:15)

16) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R:56)

17) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R:11)

18) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R:9)

19) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R:32)

20) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R:26)

21) 5 + 4²- 1 = (R:20)

22) 10²- 3² + 5 = (R:96)

23) 11² - 3² + 5 = (R:117)

24) 5 x 3² x 4 = (R:180)

25) 5 x 2³ + 4² = (R:56)

26) 5³ x 2² - 12 = (R:488)

27) ( 4 + 3)² - 1 = (R:48)

28) ( 5 + 1 )² + 10 = (R:46)

29) ( 9 – 7 )³ x 8 = (R:64)

30) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = (R:46)

31) 6² : 2 - 1 x 5 = (R:13)

32) 3² x 2³ + 2² x 5² = (R:172)

1) (-3)² + 5 = (R:14)

2) (-8)² - (-9)² = (R:-17)

3) 10³ - (-10)² - 1 = (R:899)

4) (-7)² + (-6)² - (-1)² = (R:84)

5) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = (R:3)

6) (-3)³ + (+2)² - 7 = (R:-30)

7) 8 + (-3 -1)² = (R:24)

8) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = (R:16)

9) –(-5)² + (-7 + 4) = (R:-28)

10) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = (R:12)

11) (-2) . (-7) + (-3)² = (R:23)

12) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = (R:57)

13) –[ -1 + (-3) . (-2)]² = (R:-25)

14) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = (R:5)

15) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = (R:-6)

16) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]²= (R:-1)

17) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = (R:25)

18) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = (R:8)

19) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = (R:-18)

20) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = (R:-4)

21) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = (R:-2)

22) (+3 – 1)² - 15 = (R:-11)

23) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = (R:4)

24) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = (R:-5)

25) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = (R:-8)

26) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = (R:-1)

27) 7² - [ 6 – (-1) - 2²] = (R:46)

28) 10 + (-3)² = (R:19)

29) (-4)² - 3 = (R:13)

30) 1 + (-2)³ = (R:-7)

31) -2 + (-5)² = (R:23)

32) (-2)² + (-3)³ = (R:-23)

33) 15 + (-1)⁵ - 2 = (R:12)

34) (-9)² -2 – (-3) = (R:82)

35) 5 + (-2)³ + 6 = (R:3)

36) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = (R:-17)

37) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = (R:16)

38) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = (R:17)

39) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = (R:16)

Fonte:

http://jmpmat11.blogspot.com/

Testes:

1) O resultado de (-1001)² é:

a) 11 011

b) -11 011

d) -1 002 00

2) O valor da expressão 2º - 2¹ - 2² é:

a) -4

c) 8

d) 0

3) O valor da expressão (-10)² - 10² é:

b) 40

c) -20

d) -40

4) O valor da expressão (-7)² + (+3) . (-4) – (-5) é :

a) 7

b) 37

c) 42

d) 47

5) O valor da expressão –[-2 + (-1) . (-3)]² é :

a) -1

b) -4

c) 1

d) 4

Fonte: http://jmpmat11.blogspot.com/

Exercícios resolvidos sobre potenciação

   Resolva as potências:

a)      ( -4 )-2 =

b)      ( + 3) 3 =

c)      ( - 2/7) 2 =

d)        ( + ¾  )-4 =

e)      ( + 1/5) 5=

f)      ( - 12/13) 1 =

g)      ( + 5/9) -2 =

h)      ( + 2/7) 4 =

i)      ( - 2/3) 5 =

j)      ( - 3/5) -3=

Lista de Exercicios - Potenciação

1) Efetue, observando as definições e propriedades:

2) O número de elementos distintos da sequência 24, 42, 4-2 (-4)2, (-2)4, (-2)-4 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

3) O valor da expressão B = 5 . 108 . 4 . 10-3 é:

a) 206
b) 2 . 106
c) 2 . 109
d) 20 . 10-4

4) O valor da expressão C = (10-3 x 105) / (10 x 104) é:

a) 10
b) 1000
c) 10-2
d) 10-3

5) Quais os resultados de 713 : 711 e de 2-4 . 25 ?

a) 102 . 10-4 =

b) 23 . 26 =

c) 38 . 3-5 =

d) 34 : 3 =

e) 28 : 24 =

f ) 26 : 29 =

7) Calcule a expressão (1/2)-3 + (1/2)-5 :

1 - Escreva na forma de potência:

a)     5 . 5 . 5 . 5

b)    11. 11 .11.11..11

c)     10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10

2 – Escreva na forma de produto e calcula as potências:

a) 43

b) 210

c) 132

3 – Determine o valor de 8 x 2 e de 82. Qual dos dois valores é maior?

4 -  Calcule o valor  de:

a)52 + 22

b) (5 + 2 )2

c) 83 – 43

d) (8 – 4)3

5 – Escreva os números seguintes usando potências de 10:

a)     1 000 000 000

b)    2 000 000

c)     80 000 000

6 – Use as propriedades de potencias nas expressões.

a) 73 . 75

b) 53 . 54 . 52

c) 105 : 105

d) 45 : 43

e)  (52)5

f)      [(56)0]8

g)     (7 . 10)3

h)     ( 2 . 32 . 52)4

7 – Complete as sentenças:

a) 142 = 196 então= ......

b) 23 = 8 então= ........

c)  = 56 então     2 = 3 136

d)  = 75 então      2 = 5 625

01) (UFRGS) O valor da expresão:

(A) 0,625 (B) 6,25 (C) 62,5 (D) 625 (E) 6250

(FATEC) Das três sentenças abaixo:

A) 2x+3 = 2x.23
B) (25)x = 52x
C) 2x + 3x = 5x

• Somente a sentença A) é verdadeira
• Somente a sentença B) é verdadeira
• Somente a sentença C) é verdadeira
• Somente a sentença B) é falsa
• Somente a sentença C) é falsa

• 1/2
• 1/8
• 4/15
• 16/15
• Nenhuma das respostas anteriores

Se n é um número inteiro e a é um número real positivo, então a expressão

a2n+1.a1-n.a3-n       é igual a:

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LISTA 2

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