A Teoria dos Conjuntos estuda como selecionar, agrupar e classificar elementos. Nesta aula, você compreenderá os conceitos de conjuntos e subconjuntos. Além disso, verá seus elementos e suas representações através de chaves e diagrama de Venn. Por fim, conseguirá resolver problemas que envolvem relações de pertinência ou relações de inclusão.
A teoria dos conjuntos no dia a dia
Primeiramente, vamos observar como a teoria dos conjuntos numéricos está presente em nossas rotinas. Em nossa rotina, temos a tendência de selecionar coisas para depois organizar. Em geral, agrupamos nossos pertences por uma característica que eles têm em comum. Além disso, classificamos ou damos nome a esses grupos.
Um exemplo: algumas pessoas organizam seus materiais escolares agrupando canetas, lápis, lapiseiras em um estojo. Esse estojo pode ser um conjunto de materiais de escrever.
Do mesmo modo, colocamos diversos cadernos em uma pilha e livros em outra. Assim, organizamos nossos materiais em diversos conjuntos.
Com isso podemos afirmar que:
Um conjunto é um agrupamento de elementos.
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Veja agora com o professor Lucas Borguezan um resumo de introdução que vai ajudar você no domínio desta matéria.
As dicas do professor Lucas:
- Em nossa rotina, temos a tendência de selecionar coisas para depois organizar. Em geral, agrupamos nossos pertences por uma característica que eles têm em comum.
- Além disso, classificamos ou damos nome a esses grupos.
- Do mesmo modo, colocamos diversos cadernos em uma pilha e livros em outra. Assim, organizamos nossos materiais em diversos conjuntos.
- Com isso, podemos afirmar que um conjunto é um agrupamento de elementos.
- Os conjuntos normalmente são representados por letras maiúsculas e os elementos são delimitados por chaves ou diagrama de Venn.
- Nesta aula acima, o professor Lucas te ensina a linguagem matemática dos conjuntos numéricos e te mostra como ocorrem as relações de pertinência.
A simbologia do que pertence, ou não pertence
Os conjuntos normalmente são representados por letras maiúsculas e os elementos são delimitados por chaves ou diagrama de Venn.
Em primeiro lugar, vamos ver alguns exemplos de conjuntos representados através de chaves:
Cores primárias: C = {amarelo, azul, vermelho}
Dinheiro brasileiro: D = {centavos, real}
Flores: F = {rosa, violeta, sempre-viva, amarílis, cravo, …}
Sob o mesmo ponto de vista, vamos ver agora exemplos de representação de conjuntos com diagrama de Venn. Esse diagrama é facilita a visualização da teoria dos conjuntos:
O diagrama de Venn é uma linha fechada que pode ter qualquer forma. Ele serve para delimitar os elementos.
Conjuntos especiais:
Bem como a representação através de chaves e o diagrama de Venn, você precisa entender dois tipos de conjuntos especiais:
a) Conjunto vazio: é um conjunto sem elementos e é representado por { } ou ∅.
b) Conjunto unitário: é um conjunto que tem um único elemento. Ex: A = {10}.
Além disso, é importante que você saiba que existe uma relação entre conjuntos e elementos que denominamos Relação de Pertinência.
Relação de Pertinência
Antes de mais nada, vamos definir o que é relação de pertinência. Essa relação analisa se um elemento pertence ou não a um conjunto.
Quer um exemplo? Vamos construir um conjunto de números naturais ímpares menores que 20:
Sabemos que os números naturais são aqueles que usamos para a contagem:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 …
Esse é um conjunto infinito.
Tirando os números ímpares menores que 20, temos um novo conjunto que vamos chamar de I:
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Até agora, selecionamos, agrupamos e classificamos. Se alguém perguntar a você se o número 10 pertence ao conjunto I, o que você responderia?
- Não, 10 não pertence ao conjunto I. Isso porque o número 10 não é um número ímpar, logo ele não está dentro do conjunto I.
- E o número 13 pertence ao conjunto I? Sim, porque ele é um número ímpar menor que 20.
- Em suma, essa é a análise da Relação de Pertinência que faz a relação entre elementos e um conjunto.
Os Conjuntos Numéricos
Acompanhe com o professor Lucas a introdução aos Conjuntos Numéricos.
As dicas do Lucas sobre os Conjuntos Numéricos:
- Sabe aqueles grupinhos característicos que tem em todo ensino médio? Vamos pensar juntos: toda escola tem aquele grupo que é mais bagunceiro; tem a galera do fundão; tem o pessoal mais dedicado e estudioso; a galera mais ligada em rede socia;, os que tocam algum instrumento… Enfim, são muitos os grupinhos.
- Mas, sabe o que todos esses grupos tem em comum? Os membros de cada grupo têm características parecidas, por isso se identificam!
- Em cada agrupamento eles formam conjuntos e na matemática nós chamamos de conjuntos numéricos!
- Vem que o professor Lucas te explica 🙂
Linguagem matemática dos conjuntos numéricos
Assim como a compreensão da simbologia dos conjuntos, é necessário que você saiba sua linguagem matemática. Como podemos escrever a frase 10 não pertence ao conjunto I na linguagem matemática? Podemos escrever essa expressão: 10 ∉ I.
O símbolo ∉ indica não pertence.
Sob o mesmo ponto de vista, como podemos escrever, na linguagem matemática, a frase 13 pertence ao conjunto I? Escrevemos assim: 13 ∈ I.
O símbolo ∈ significa pertence.
O que são subconjuntos?
Vamos falar da Relação de Inclusão propriamente dita? Anteriormente, temos que mostrar o que é um subconjunto.
Em primeiro lugar, para entender o que são subconjuntos, observe o exemplo anterior (aquele que vimos no item Relação de Pertinência). Vamos definir que o conjunto dos números naturais é o conjunto a ser analisado. Dessa forma, o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares são subconjuntos do conjunto dos números naturais.
Logo, subconjuntos são pequenos conjuntos formados com os elementos do conjunto maior que denominamos Universo.
De acordo com o que vimos acima, vamos representar esses conjuntos em linguagem matemática:
a) Conjunto dos números naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9…}
b) Conjunto dos números pares: P = { 0, 2, 4, 6 …}
c) Conjunto dos números ímpares: U = {1, 3, 5, 7, 9…}
d) Conjunto dos números ímpares menores que 20:
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Os conjuntos dos itens b) c) d) são subconjuntos do conjunto dos números naturais. E são apenas alguns exemplos dos infinitos subconjuntos que se originam do conjunto maior.
Relação de Inclusão – teoria dos conjuntos
A Relação de Inclusão analisa se subconjuntos estão dentro de outros conjuntos maiores.
Primeiramente, vamos aprender quais são os símbolos usados nas relações de inclusão são:
a) Contido: ⊂
b) Não está contido: ⊄
c) Contém: ⊃
d) Não contém: ⊅
Agora, vamos resolver dois tipos de problemas sobre teoria dos conjuntos que apareceram em provas de vestibulares:
1. (F. C. Chagas) Se A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}, então:a) {2, 3} ⊂ A
b) 2 ∈ A
c) ∅ ∉ A
d) 3 ⊂ A
e) {3} ∈ A
Antes de mais nada, para resolver esse tipo de questão, temos que analisar todos os dados do problema.
O primeiro dado muito importante é o conjunto dado no enunciado:
A = {∅, 3, {3}, {2, 3}}
Note que temos elementos desse conjunto que são conjuntos menores. Dizemos que {3} e {2, 3} são elementos de A, logo só podemos usar a relação de pertinência entre eles e o conjunto A.
O símbolo ∅ indica o conjunto vazio.
a) {2, 3} ⊂ A é falsa, porque {2, 3} é elemento de A e não é subconjunto de A. O sinal ⊂ indica uma relação de inclusão que é usada entre conjunto e subconjunto.
b) 2 ∈ A é falsa, porque não tem elemento 2 no conjunto A.
c) ∅ ∉ A é falsa, porque o elemento vazio pertence ao conjunto A.
d) 3 ⊂ A é falsa, porque não usamos sinal de inclusão entre elemento e conjunto. O correto é 3 ∈ A.
e) {3} ∈ A está correta, pois {3} é elemento do conjunto A.
Fazer esse tipo de análise para resolver esse tipo de problema pode te ajudar muito. Lembre-se de fazer isso para resolver questões que envolvem conjuntos, elementos, subconjuntos. Essa análise também é útil para resolver questões que envolvem símbolos das relações de Pertinência e as relações de Inclusão.
Para reforçar essa ideia de Relações acesse nossa aula escrita sobre esse assunto.Quer outro exemplo?
2. (UFGO) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas:{2} ∈ {0, 1, 2}
∅ ⊂ {5, 6, 7}
∅ ∈ {∅, 4}
5 ∈ {3, {5, 1}, 4}
{5, 6} ⊃ {5, 6, 7}
Nesta ordem, a alternativa CORRETA é:
a) F, V, V, F, F
b) V, F, F, V, F
c) F, V, V, F, V
d) V, F, F, V, V
A resolução desse tipo de problema é mais elaborada. Temos que analisar cada afirmação uma a uma:
Para essa afirmação, temos que analisar se {2} está dentro do conjunto {0, 1, 2}. Com isso, percebemos que o elemento 2 está no conjunto, mas {2} não está, então é F.
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, logo está contido no conjunto {5, 6, 7}. A afirmação é V.
O conjunto vazio aparece como elemento desse conjunto, então podemos usar o símbolo de pertence. A afirmação é V.
Essa afirmação é falsa porque não tem elemento 5 no conjunto. O que temos como elemento do conjunto é {5, 1}. A afirmação é F.
O símbolo contém é usado quando o primeiro conjunto tem um número de elementos maior que o segundo. Além disso, o segundo conjunto deve ter elementos no primeiro conjunto. Logo, a afirmação é F.
A alternativa correta é a alternativa a.
Vídeo sobre teoria dos conjuntos
Para finalizar, assista ao vídeo abaixo, em que o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, explica sobre esse assunto!
Em conclusão, nesta aula você aprendeu que a teoria dos conjuntos vem do modo como selecionamos, classificamos, agrupamos as coisas (objetos, pessoas, etc). Além disso, você compreendeu que conjunto é um agrupamento de elementos e como podemos representar esses conjuntos. Por fim, apresentamos o conjunto vazio, unitário, as relações de pertinência e as relações de inclusão.
Exercícios
1. Sendo A = {1, 2, {1}, {2, 3}}, qual das proposições abaixo é FALSA?
a) 1 ∈
b) {3} ∈
c) {1} ∈
d) A possui quatro elementos.
e) {1, 2, 3} ∈
2. Dado o conjunto A = {1, {2}, 2}, qual das relações abaixo é FALSA?
a) {2} ∈ A
b) {1} ∈ A
c) {1, 2} ⊂ A
d) {2} ⊂ A
e) {2, {2}} ⊂ A
3. (Mack – SP) Dado o conjunto A = {3, {3}} e as proposições:
I. 3 ∈ A
II. {3} ⊂ A
III. {3} ∈ A
Então:
a) apenas as proposições I e II são verdadeiras
b) apenas as proposições II e III são verdadeiras
c) apenas as proposições I e III são verdadeiras
d) todas as proposições são verdadeiras
e) nenhuma proposição é verdadeira
Gabarito: 1.B 2.B 3.D