Como se encontra a raiz quadrada exata

A raiz quadrada de um número X qualquer, é um número Y que, elevado ao quadrado (ou seja, multiplicado por ele mesmo), resulte no número X. Assim, podemos dizer que:

A raiz quadrada é a operação inversa de uma potenciação de expoente 2.

Definição:

Considere a seguinte equação: $$${^n}√{a}=b$$$

  • a = radicando
  • b = raiz
  • $$√$$ = radical
  • n = índice

a e b são números reais; n é um número natural maior que 1 (no caso da raiz quadrada, o índice pode ser omitido).

Curiosidade
A origem mais provável do símbolo de radiciação está na letra $$\sc\r$$, inicial da palavra radix (em latim, quer dizer "raiz").

Como calcular a raiz quadrada?

Raiz quadrada exata

Em caso de números mais simples, basta pensarmos em um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte no número cuja raiz queremos descobrir:

Exemplo 1: $$√{4}=2$$, pois $$2^2=4$$, ou seja, $$2×2=4$$.

Exemplo 2: $$√{9}=3$$, pois $$3^2=9$$, ou seja, $$3×3=9$$.

Quando os números vão ficando maiores, esse procedimento se torna mais difícil. De modo que precisamos recorrer à decomposição do número em fatores primos:

Exemplo 3: $$√{576}=$$

$$$576÷2=288$$$ $$$288÷2=144$$$ $$$144÷2=72$$$ $$$72÷2=36$$$ $$$36÷2=18$$$ $$$18÷2=9$$$ $$$9÷3=3$$$ $$$3÷3=1$$$

Agora, agrupamos os divisores dois a dois, da seguinte maneira: $$2²×2²×2²×3²$$. Portanto:

$$$√{576}=√{2²×2²×2²×3²}$$$

Em seguida, os expoentes e o índice são simplificados, resultando no produto $$2×2×2×3=24$$. Ou seja:

$$$√{576}=24$$$

Raiz quadrada não-exata

Nem todos os números possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, conseguimos encontrar a raiz exata de 16 e 25: $$√{16}=4$$ e $$√{25}=5$$, mas não há raiz exata para o número 20, exemplo, de modo que sua raiz é um número decimal entre 4 e 5.

Há duas maneiras de encontrar uma raiz não-exata:

1. Decomposição em fatores primos:

$$$√{20}$$$ $$$20÷2=10$$$ $$$10÷2=5$$$ $$$5÷5=1$$$

Logo: $$√{20}=√{2²×5}$$.

Nesse caso, o expoente 2 é simplificado com o índice. O número 2 passa a multiplicar a raiz, e o número 5 (que não foi simplificado, pois não possuía expoente igual ao índice) permanece dentro da raiz.

Portanto: $$√{2²×5}=2×√{5}$$ ou $$2√{5}$$.

2. Tentativa por aproximação:

Esse segundo método, consiste em multiplicar números decimais por eles mesmos, até encontrar o valor mais próximo da radiciação.

Exemplo: Sabemos que $$√{20}$$ é um número decimal entre 4 e 5. Logo:

$$$4,1×4,1=16,81$$$ $$$4,2×4,2=17,64$$$ $$$4,3×4,3=18,49$$$ $$$4,4×4,4=19,36$$$ $$$4,5×4,5=20,25$$$

Percebemos então, que o número mais próximo para a $$√{20}$$ (com uma casa decimal) é 4,4. Dessa maneira, podemos ir chutando valores, com quantas casas decimais quisermos, embora os cálculos se tornem cada vez mais demorados.

Operações com raizes quadradas

Adição e subtração

Ao tentar somar ou subtrair raizes diferentes, como $$√{5}+√{2}$$, o resultado se mantém o mesmo $$√{5}+√{2}$$, a não ser que encontremos os valores dessas raizes, para em seguida realizarmos a soma: $$√{5}≈2,24$$ e $$√{2}≈1,41$$. Portanto, $$√{5}+√{2}=(2,24)+(1,41)=3,65$$.

Porém, quando se trata de raizes quadradas com o mesmo radicando, conservamos a raiz e efetuamos a soma ou subtração dos números fora da raiz:

Exemplo 1: $$2√{5}+3√{5}= (2+3)√{5}=5√{5}$$

Exemplo 2: $$7√{2}-5√{2}= (7-5)√{2}=2√{2}$$

Multiplicação e divisão

Diferente da adição, o caso da multiplicação permite realizar a operação com raizes diferentes. Caso haja números externos à raiz, eles também podem ser multiplicados entre si.

Multiplica-se números externos com números externos e radicandos com radicandos

Exemplo 1: $$√{3}×√{6}= √{(3×6)}=√{18}$$

Exemplo 2: $$2√{2}×4√{3}= (2×4)√{(2×3)}=8√{6}$$

O caso da divisão é idêntico: números externos com números externos e radicandos com radicandos

Exemplo 3: $$√{15}÷√{5}= √{(15÷5)}=√{3}$$

Exemplo 4: $$6√{10}÷2√{5}= (6÷2)√{(10÷5)}=3√{2}$$

  • 1

    Tente adivinhar o valor através da eliminação. É mais difícil descobrir raízes quadradas não inteiras, mas ainda assim é possível.

    • Suponhamos que você queira encontrar a raiz quadrada de 20. Você sabe que 16 é um número inteiro perfeito com raiz quadrada igual a 4 (4×4=16). E, igualmente, 25 tem uma raiz quadrada igual a 5 (5×5=25), de modo que a raiz quadrada de 20 deverá estar esses valores.
    • Você poderia supor que a raiz quadrada de 20 seja 4,5. Agora, basta elevar 4,5 ao quadrado para conferir a suposição. Isso significa que é necessário multiplicar o número por ele mesmo: 4,5×4,5. Veja se a resposta está acima ou abaixo de 20. Se a suposição estiver longe do resultado esperado, realize a tentativa com outro número (talvez 4,6 ou 4,4) e refine a suposição até chegar a 20.[4] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
    • Por exemplo, 4,5×4,5=20,25. Logicamente, você deve tentar um número menor, provavelmente seguindo com 4,4×4,4=19,36. Logo, a raiz quadrada de 20 deverá estar entre 4,5 e 4,4. Que tal seguirmos com 4,445×4,445? A resposta será 19,758, que está bem mais próxima. Se continuar usando diferentes números nesse processo, você chegará finalmente a 4,475×4,475=20,03. Arredondamos, teremos o número 20.

  • 2

    Use o processo da média. Esse método também começa com a sua tentativa de encontrar os números inteiros mais próximos entre os quais estará o valor desejado.[5] X Fonte de pesquisa Ir à fonte

    • A seguir, divida o número por uma das raízes quadradas. Pegue a resposta, calcule a média e o valor pelo qual a divisão foi feita (a média corresponde à soma dos dois números dividida por dois). A seguir, pegue o número original e divida-o pela média obtida. Finalmente, calcule a média dessa resposta com a primeira média obtida.
    • Parece complicado? Pode ser mais fácil acompanhar um exemplo. O número 10 se situa entre as duas raízes perfeitas de 9 (3×3=9) e 16 (4×4=16). As raízes quadradas desses números são 3 e 4. Então, divida 10 pelo primeiro número, 3. Obtém-se o resultado 3,33. Agora, tire a média entre 3 e 3,33 somando os dois números em conjunto e dividindo a soma por 2. Você obterá o resultado 3,1623.
    • Revise os cálculos multiplicando a resposta (nesse caso, 3,1623) por ela mesma. De fato, 3,1623 multiplicado por 3,1623 será igual a 10,001.

  • A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.

    O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?

    Tentativa e erro

    Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:

    Qual a raiz quadrada de v196?

    Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:

    11 * 11 = 121

    12 * 12 = 144

    13 * 13 = 169

    14 * 14 = 196

    É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.

    Cálculo por fatoração

    A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:

    Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:

    Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:

    Veja outro exemplo com  v1225:

    Desmembrando o número temos:

    Raiz quadrada não exata

    Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:

    Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:

    7,1 * 7,1 = 50,41

    7,2 * 7,2 = 51,84

    7,3 * 7,3 = 53,29

    7,4 * 7,4 = 54,76

    O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.

    Veja outro exemplo:

    Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:

    14,1 * 14,1 = 198,81

    14,2 * 14,2 = 201,64

    14,3 * 14,3 = 204,49

    14,4 * 14,4 = 207,36

    14,5 * 14,5 = 210,25

    14,6 * 14,6 = 213,16

    14,7 * 14,7 = 216,09

    14,8 * 14,8 = 219,04

    Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:

    14,71 * 14,71 = 216,38

    14,72 * 14, 72 = 216,67

    14,73 * 14,73 = 216,97

    14,74 * 14,74 = 217,26

    14,75 * 14,75 = 217,56

    14,76 * 14,76 = 217,85

    14,77 * 14,77 = 218,15

    Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.

    O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.

    Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:

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