Soma e produto é um método usado para calcular as raízes da equação do 2° grau, sendo, portanto, uma variação da fórmula de Bhaskara. Esse método estabelece duas relações entre as raízes e os coeficientes da equação. Quando dois números que satisfaçam as duas relações simultaneamente forem encontradas, isso significa que encontramos as raízes de determinada equação. Publicidade Como já sabemos, a forma geral da equação de 2° grau é ax² + bx + c = 0. Diante disso, vamos entender como funciona esse método de cálculo. O método é feito por meio de uma fórmula constituída por duas relações que devem ser satisfeitas. Considerando que x1 e x2 são as duas raízes da equação, temos então a fórmula: x_1+ x_2= -b/a
x_1.x_2= c/a
Para resolver, precisamos encontrar dois números que satisfaçam as duas relações acima. Para resolver a equação de 2° grau usando este método, você deve, primeiro, encontrar os dois números que atendam a relação. Mesmo que hajam inúmeras possibilidades, em exercícios, normalmente, essas são limitadas. Foque inicialmente no produto, e então descubra, depois, se satisfaz também a soma. Confira o exemplo abaixo para melhor entendimento: X² – 5x + 6 = 0 A = 1
B = -5
C = 6. Publicidade Diante disso, precisamos aplicar a regra de soma e produto. A soma das raízes é 5, e o produto é 6, de forma que precisamos encontrar dois números que tenham a soma igual a 5 e o produto igual a 6. As únicas duas possibilidades são 2 e 3. Confira abaixo a resolução: Como funciona o método da soma e produto?
Ao observarmos a equação acima, podemos tirar dela os coeficientes, sendo eles:
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Referências
Matemática – Valter dos Santos Fernandes, Jorge Daniel Silva, Orlando Donisete Mabelini
Como referenciar este conteúdo
Petrin, Natália. Soma e produto. Todo Estudo. Disponível em: //www.todoestudo.com.br/matematica/soma-e-produto. Acesso em: 18 de June de 2022.
01. [Fuvest] Se m e n são raízes de x² – 6x + 10 = 0, então 1/m + 1/n vale :
a)6
b)2
c)1
d)3/5
e)1/6
02. [Mackenzie] Sejam a e b raízes da equação x² – 3kx + k² = 0 tais que a² + b² = 1,75. O valor de k² é :
a)(1,75)²
b)17,5
c)175
d)0,5
e)0,25
No estudo de álgebra, lidamos muito com equações, tanto do 1° quanto do 2° grau. Em geral, uma equação do 2° grau pode ser escrita da seguinte forma:
ax2 + bx + c = 0
Os coeficientes da equação do 2° grau são a, b e c. Essa equação recebe esse nome porque a incógnita x está elevada à segunda potência ou ao quadrado. Para resolvê-la, o método mais comum é a utilização da Fórmula de Bhaskara. Esta garante que o resultado de qualquer equação do 2° grau pode ser obtido através da fórmula:
x = – b ± √? , onde ? = b2 – 4.a.c
2.a
Através dessa fórmula, obtemos duas raízes, uma delas é obtida utilizando o sinal positivo antes da raiz quadrada de delta e outra utilizando o sinal negativo. Podemos então representar as raízes da equação do 2° grau como x1 e x2 da seguinte forma:
x1 = – b + √?
2.a
x2 = – b – √?
2.a
Vamos tentar estabelecer relações entre a soma e produto dessas raízes. A primeira delas pode ser obtida pela soma. Teremos, então:
x1 + x2 = – b + √? + (– b – √?)
2.a 2.a
x1 + x2 = – b + √? – b – √?
2.a
Como as raízes quadradas de delta possuem sinais opostos, elas anular-se-ão, restando apenas:
x1 + x2 = – 2.b
2.a
Simplificando a fração resultante por dois:
x1 + x2 = – b
a
Portanto, para qualquer equação do 2° grau, se somarmos suas raízes, obteremos a razão – b/a. Vejamos uma segunda relação que pode ser obtida pela multiplicação das raízes x1 e x2:
x1 . x2 = – b + √? . – b – √?
2.a 2.a
x1 . x2 = (– b + √?).(– b – √?)
4.a2
Aplicando a propriedade distributiva para fazer a multiplicação entre os parênteses, obtemos:
x1 . x2 = b2 + b.√? – b.√? -- (√?)2
4.a2
Como os termos b.√? possuem sinais opostos, eles anulam-se. Também calculando (√?)2 , temos que (√?)2 = √?.√? = ?. Lembrando ainda que ? = b2 – 4.a.c. Portanto:
x1 . x2 = b2 – ?
4.a2
x1 . x2 = b2 – (b2 – 4.a.c)
4.a2
x1 . x2 = b2 – b2 + 4.a.c
4.a2
x1 . x2 = 4.a.c
4.a2
Considerando que a2 = a.a, podemos simplificar a fração, dividindo o numerador e o denominador por 4.a, obtendo:
x1 . x2 = c
a
Essa é a segunda relação que podemos estabelecer entre as raízes de uma equação do 2° grau. Ao multiplicar as raízes, encontramos a razão c/a. Essas relações de soma e produto das raízes podem ser empregadas mesmo que estejamos trabalhando com uma equação do 2° grau incompleta.
Agora que conhecemos as relações que podem ser obtidas através da soma e produto das raízes de uma equação do 2° grau, vamos resolver dois exemplos:
-
Sem resolver a equação x2 + 5x + 6 = 0, determine:
a) A soma de suas raízes:
x1 + x2 = – b
a
x1 + x2 = – 5
1
x1 + x2 = – 5
b) O produto de suas raízes:
x1 . x2 = c
a
x1 . x2 = 6
1
x1 . x2 = 6
-
Determine o valos de k para que a equação tenha duas raízes x2 + (k – 1).x – 2 = 0, cuja soma seja igual a – 1.
A soma de suas raízes é dada pela seguinte razão:
x1 + x2 = – b
a
x1 + x2 = – (k – 1)
1
Mas nós temos definido que a soma das raízes é – 1
– 1 = – (k – 1)
1
– k + 1 = – 1
– k = – 1 – 1
(--1). – k = – 2 .(--1)
?k = 2
Portanto, para que a soma das raízes dessa equação seja – 1, o valor de k deve ser 2.