A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.
Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas
Resumo sobre raiz quadrada
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A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.
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Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.
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Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.
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A raiz quadrada de um número a é representada por √a.
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Pode ser exata ou não exata.
Videoaula sobre raiz quadrada
A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.
Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.
O que é raiz quadrada?
A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.
Exemplos:
√4 = 2, pois 2² = 4
√9 = 3, pois 3² = 9
√16 = 4, pois 4² = 16
√25 = 5, pois 5² = 25
Como calcular a raiz quadrada?
Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.
Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.
Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice
A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.
Exemplo:
Calcule o valor da √324.
Resolução:
Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:
Dessa forma, calcula-se:
√0 = 0
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.
Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.
Exemplo:
Calcule o valor da √60.
Resolução:
Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.
√49 < √60 < √64
Calculando as raízes de 49 e 64:
7 < √60 < 8
Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.
7,9² = 62,41
7,8² = 60,84
7,7² = 59,29
Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.
Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada
Questão 1
(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.
A) 35
B) 24
C) 25
D) 17
E) 49
Resolução:
Alternativa C
Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:
Dessa forma, temos:
√625 = √54
√625 = 5²
√625 = 25
Questão 2
Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:
I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.
II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.
III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.
As afirmativas são, respectivamente:
A) V, V e V.
B) F, F e F.
C) F, F e V.
D) F, V e F.
E) V, F e V.
Resolução:
Alternativa D
I → Falsa
A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.
II → Verdadeira
Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.
III → Falsa
3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.
Narciso Busatto Algoritmo das Raizes Quadradas por Números Ímpares
3 AI ADADA E AE .
... ...
A ,
: 1: A
D: , , .A.
. A, :
⋯ −
.A.
:
−
∎
AGI DA AI ADADA E AE , 0 . E , . E:
√
: 9 1 8 3 5 5 0
(), ,
:
√
9 1 8 3 5 5 0
Narciso Busatto Algoritmo das Raizes Quadradas por Números Ímpares
I :
√
16 1 15 3 12 5 7 7 0 A : , , . E , , : E: C
√
•
, ,
•
C . 5 29 1 4 3 1 J 0, 5 .
•
D 5 29 1 4 3 1 29 129. A !!!
•
, . 5 29 1 4 3 129 41 3+1=4
Narciso Busatto Algoritmo das Raizes Quadradas por Números Ímpares
. C 4, , 40, 41 .
•
C 5 29 1 4 3 129 41 88 43 45 45 0
•
C 2 . D, , 3 .
√
5 29 1 4 3 129 41 88 43 45 45 0 AAGE DEAAGE AAGE D AGI:
•
.
•
, , .
•
.
•
DEAAGE D AGI:
•
. 2 3