O quadrado é uma figura geométrica plana, ele possui duas dimensões: altura e largura. Como todos os lados do quadrado têm a mesma medida, a altura e largura do quadrado são iguais.
Além disso, outra característica do quadrado é que ele possui quatro ângulos internos retos, ou seja, que medem 90°.
Em figuras planas, podemos calcular o perímetro. O perímetro corresponde ao tamanho da “linha” que forma as figuras.
Em cada figura geométrica plana, há uma forma diferente de obter essa medida. Vamos ver como calcular o perímetro do quadrado.
O perímetro do quadrado corresponde a soma das medidas dos quatro lados.
Como todos os lados têm a mesma medida, igual a L, então, a fórmula do seu perímetro é:
P = L + L + L + L
P = 4L
Em que L é a medida do lado.
Exemplo: calcule o perímetro de um quadrado cujo lado mede 8 cm.
P = 4L = 4 . 8 = 32
Portanto, o perímetro do quadrado é igual a 32 cm.
Diagonal do quadrado
O quadrado possui duas diagonais, que são segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos, ou seja, os segmentos passam pelo meio da figura.
Para calcular a diagonal do quadrado, podemos usar a seguinte fórmula:
d = L . √2
Em que L é a medida do lado.
Essa fórmula pode ser verificada a partir do teorema de Pitágoras, pois veja que a diagonal forma um triângulo retângulo de catetos L e hipotenusa d.
Perímetro do quadrado inscrito
Em um quadrado inscrito em uma circunferência de raio r, a diagonal é igual a 2r, como é mostrado na figura abaixo.
Dessa forma, podemos mostrar que a medida do lado do quadrado é L = r√2. Veja:
Já vimos que em qualquer quadrado a diagonal é dada por d = L√2. Como no quadrado inscrito temos d = 2r, podemos igualar essas quantidades para encontrar o valor de L.
L√2 = 2r
⇒ L = 2/√2 . r
Como 2/√2 = √2, então:
L = r.√2
Portanto, o perímetro do quadrado inscrito é dado por:
P = 4L
P = 4r√2
Em que r é o raio da circunferência na qual o quadrado está inscrito.
Área do quadrado
A área do quadrado é calculada a partir da seguinte fórmula:
A = L . L = L²
Em que L é a medida do lado.
Observação: A área de uma figura plana corresponde a medida da sua superfície. Dessa forma, diferente do perímetro, a área é uma medida quadrática é expressa, por exemplo, em cm² e m².
Você também pode se interessar:
- Perímetro do triângulo
- Perímetro do círculo
- Área dos polígonos
Área e perímetro são cálculos importantes no estudo de figuras planas. Conhecemos como área a medida da superfície da figura; já o perímetro é o comprimento do contorno da figura, e o seu valor é encontrado quando calculamos a soma de todos os lados da figura. Quando estudamos os polígonos, que são casos particulares de figuras planas, para encontrar o seu perímetro, basta realizar a soma do comprimento de todos os lados, enquanto a área é calculada por fórmulas específicas para cada polígono.
A área e o perímetro de uma figura são muito úteis na construção civil, em plantações, e também para termos noção do tamanho de superfícies no dia a dia, havendo diversas aplicações desses conceitos.
Leia mais: Diferenças entre figuras planas e figuras espaciais
Resumo sobre área e perímetro
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A área é uma grandeza igual à medida da superfície de uma figura plana.
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Cada figura plana possui uma fórmula específica para o cálculo da área.
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As principais fórmulas de área são:
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O perímetro é igual à soma do comprimento de todos os lados de uma figura plana.
O que é área?
A área é uma grandeza importante da geometria. Dada uma figura geométrica, a área é a medida de superfície dessa figura. Para calcular a área das figuras planas, utilizamos fórmulas específicas para cada uma delas, quando necessário, dividimos a figura plana em figuras planas conhecidas e somamos as áreas. Vejamos, a seguir, as principais figuras planas e a fórmula para calcular a área de cada uma.
Área de um paralelogramo
Conhecemos como paralelogramos as figuras planas que possuem lados opostos paralelos. Para calcular a área de um paralelogramo qualquer, multiplicamos a sua base pela sua altura.
Existem casos particulares de paralelogramo, são eles o quadrado, o retângulo e o losango. Os dois primeiros possuem fórmulas parecidas para o cálculo de área, já o losango usa uma fórmula um pouco diferente, mas que é deduzida da fórmula da área do paralelogramo.
Área de retângulo
O retângulo é um caso particular de paralelogramo, pois ele possui todos os ângulos internos retos. Para calcular a sua área, utilizamos a mesma fórmula do paralelogramo, a diferença é que um dos seus lados coincide com a sua altura.
Área do quadrado
O quadrado também é um caso particular de paralelogramo. Além de possuir um ângulo reto, o quadrado possui todos os lados congruentes. Para calcular a sua área, multiplicamos a sua base e a sua altura, e, como os lados são congruentes, calculamos o quadrado da medida do lado.
Área do losango
Diferentemente dos anteriores, para calcular a área de um losango, é necessário conhecer o comprimento das suas diagonais. O losango possui duas diagonais: a diagonal maior D e a diagonal menor d. Para saber a sua área, calculamos o produto entre as diagonais e dividimos por 2.
Área do triângulo
O triângulo não é um paralelogramo, mas, ainda assim, é uma figura plana muito importante. Conhecemos como triângulo a figura plana que possui três lados, e, para saber a área de um triângulo, calculamos o produto entre a sua base e a sua altura e dividimos por 2.
Área do trapézio
O trapézio é uma figura plana que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos. Os lados paralelos são chamados de base maior B e base menor b, e, para calcular a sua área, utilizamos a seguinte fórmula:
Caso queira saber mais sobre o tema deste tópico, leia: Área do trapézio.
Área do círculo
O círculo também é uma figura plana muito importante, e, para calcular a sua área, é necessário conhecer o valor do seu raio.
O que é perímetro?
O perímetro de uma figura plana é igual à soma do comprimento de todos os lados dela. Assim, ainda que exista fórmula para algumas figuras planas, basta lembrar que a soma dos seus lados resulta no seu perímetro.
Como calcular o perímetro
O perímetro é sempre igual à soma de todos os lados da figura plana, então, em algumas figuras planas, é possível utilizar uma fórmula nesse sentido. Vejamos o perímetro das principais figuras planas.
Perímetro do paralelogramo e do retângulo
Para calcular o perímetro do paralelogramo e do retângulo, utilizamos a mesma fórmula. Como eles possuem lados opostos congruentes, podemos calcular a soma dos seus lados utilizando a fórmula a seguir:
Perímetro do quadrado e do losango
O quadrado e o losango possuem todos os lados congruentes, então, para calcular o perímetro dessas figuras planas, basta multiplicar o comprimento do seu lado por 4.
Perímetro do triângulo
O triângulo não possui fórmula específica. Para calcular o seu perímetro, basta realizar a soma dos seus lados. Assim como no trapézio, não existe fórmula específica para essa figura:
Exercícios resolvidos sobre área e perímetro
Questão 1
Um terreno possui formato de um trapézio, com base maior medindo 10 metros e base menor medindo 6 metros. Sabendo que a altura desse terreno é de 8 metros, então a sua área é igual a:
A) 40 m²
B) 45 m²
C) 52 m²
D) 64 m²
E) 96 m²
Resolução:
Alternativa D
Calculando a área do trapézio, temos que B = 10, b = 6 e h = 8. Então, temos que:
Questão 2
A quadra poliesportiva de uma escola possui 22 metros de largura e 44 metros de comprimento. Se um aluno percorrer essa quadra 8 vezes, ele percorrerá:
A) 1500 metros
B) 1320 metros
C) 1188 metros
D) 1100 metros
E) 1056 metros
Resolução:
Alternativa E
Calculando o perímetro, temos que:
P = 2 · (22 + 44)
P = 2 · (66)
P = 132 m
Sabendo que uma volta tem 132 metros, então 8 voltas terão:
132 · 8 = 1056 m
O perímetro do quadrado é a medida equivalente à soma de todos os lados do quadrado. O quadrado é o polígono regular, e é também um quadrilátero, pois possui medidas de ângulos e lados congruentes (mesma medida).
Os ângulos internos do quadrado medem 90° e são chamados de ângulos retos. A soma desses ângulos é igual a 360°. Os lados opostos do quadrado são paralelos, dessa forma o quadrado é também um paralelogramo.
Como Calcular o Perímetro do Quadrado?
Para calcular o perímetro do quadrado devemos somar as medidas de todos os lados do quadrado. Assim, temos a seguinte fórmula:
O quadrado tem quatro lados com a mesma medida, então podemos simplificar essa fórmula da seguinte forma:
Onde:
- P: é a medida do perímetro;
- L: é a medida dos lados.
Área do Quadrado
A área do quadrado é calculada realizando o produto entre a base e a altura do quadrado. Considerando que os lados são iguais, a fórmula da área do quadrado é a seguinte:
Onde:
- A: é a área;
- L: é a medida do lado.
Diagonal do Quadrado
O quadrado possui duas diagonais. A diagonal é um segmento de reta de um vértice ao outro, ligando os ângulos opostos.
A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos. As medidas dos lados do quadrado é a medida dos catetos adjacente e oposto do triângulo. A medida da diagonal é a hipotenusa no triângulo.
Podemos calcular a medida da diagonal utilizando o Teorema de Pitágoras, pois podemos aplicar esse teorema em qualquer triângulo retângulo.
Assim, a medida da diagonal é:
- d² = L² + L²
- d² = 2L²
- d = √2L²
- d = L√2
Quadrado inscrito numa Circunferência
Se colocarmos um quadrado dentro de uma circunferência, podemos dizer que o “quadrado está inscrito” na circunferência.
Analisando a figura acima, percebemos que o raio da circunferência é igual à metade da diagonal. A diagonal do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência.
Dois raios partindo do centro da circunferência até os ângulos de um mesmo lado, formam um triângulo retângulo, já que as diagonais são perpendiculares entre si.
Assim, sabendo a medida do raio da circunferência, podemos calcular a medida do lado do quadrado utilizando o Teorema de Pitágoras.
Então, a medida do lado do quadrado é:
- r² + r² = L²
- L² = 2r²
- L = √2r²
- L = r√2
Circunferência inscrita no Quadrado
Quando uma circunferência é colocada dentro de uma quadrado, dizemos que a circunferência está “inscrita no quadrado”.
Analisando a figura acima percebemos que a medida do lado do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência (d = 2r). Então, podemos dizer que o raio da circunferência é r = d/2 ou a metade da medida do lado do quadrado. Além disso, a diâmetro da circunferência divide o quadrado em dois retângulos.
Bom, é isso.
Exercícios
Acesse os exercícios no link a seguir:
- Exercícios sobre perímetro do quadrado