Como aprender raiz quadrada mais facil

A raiz quadrada de um algarismo x nada mais é do que o número que multiplicado por si próprio tem como resultado o valor x. As raízes de números perfeitos possuem como resultado um valor inteiro, como é o caso de v4 e v9, representados por 2 (2x2=4) e 3 (3x3=9), respectivamente. Já outros exemplos, como v15 e v18, têm como valor um número decimal aproximado.

O valor da raiz quadrada dos números é um assunto recorrente durante os estudos, sendo utilizada em equações matemáticas e em cálculos geométricos, por exemplo. Por isso é fundamental que você saiba os principais métodos empregados para determinar seus valores. Vamos conhecê-los?

Tentativa e erro

Algumas raízes quadradas você já pode até saber de cabeça, como v4 (=2x2), v9 (=3x3), v16 (=4x4) e v25 (=5x5) . Além delas, diante de alguma questão, você pode buscar o valor da raiz através de tentativas, multiplicando um número pelo outro até encontrar a resposta correta. Veja o exemplo:

Qual a raiz quadrada de v196?

Tomando como base v100 = 10, você pode tentar multiplicar de um em um até chegar ao valor correto, por exemplo:

11 * 11 = 121

12 * 12 = 144

13 * 13 = 169

14 * 14 = 196

É preciso perceber que esse método é bom para números menores, dos quais você conhece as raízes quadradas próximas. Porém, pode não funcionar tão bem para valores não inteiros.

Cálculo por fatoração

A fatoração consiste na decomposição do número em fatores primos. Assim, é possível verificar se o número é um quadrado perfeito, ou seja, o valor de sua raiz quadrada é um número inteiro. Veja a demonstração:

Vamos utilizar v1296 como exemplo. Para iniciar a conta, você deve dividi-lo pelo primeiro número primo possível, veja:

Lembre-se de que a raiz quadrada possui 2 como valor de potenciação. Assim, você deve desmembrar os números para que fiquem com o mesmo expoente 2, e assim consiguir “cortar” da raiz. Veja:

Veja outro exemplo com  v1225:

Desmembrando o número temos:

Raiz quadrada não exata

Quando não temos um quadrado perfeito, o resultado da raiz quadrada não é um número inteiro, mas sim decimal. Para descobrirmos o valor, é preciso projetar entre quais quadrados perfeitos o número se encontra. Veja o exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada de v54. Podemos perceber que os quadrados perfeitos mais próximos são v49 e v64. Logo, v54 está entre 7 e 8. Para descobrir o valor aproximado, você deve adicionar uma casa decimal na multiplicação, por exemplo:

7,1 * 7,1 = 50,41

7,2 * 7,2 = 51,84

7,3 * 7,3 = 53,29

7,4 * 7,4 = 54,76

O correto é escolher a casa decimal cujo valor é anterior ao número da raiz quadrada. No caso acima, podemos aproximar o valor de v54 para 7,3; visto que 7,4 ultrapassa o número 54.

Veja outro exemplo:

Vamos calcular a raiz quadrada de v218. Os quadrados perfeitos mais próximos são v196 e v225. Logo, o valor da raiz quadrada de v218 está entre 14 e 15. Vamos para as tentativas:

14,1 * 14,1 = 198,81

14,2 * 14,2 = 201,64

14,3 * 14,3 = 204,49

14,4 * 14,4 = 207,36

14,5 * 14,5 = 210,25

14,6 * 14,6 = 213,16

14,7 * 14,7 = 216,09

14,8 * 14,8 = 219,04

Nesse caso, você pode colocar a raiz como 14,7. Porém, ela não dá um valor tão próximo. Assim, você pode adicionar uma casa decimal, veja:

14,71 * 14,71 = 216,38

14,72 * 14, 72 = 216,67

14,73 * 14,73 = 216,97

14,74 * 14,74 = 217,26

14,75 * 14,75 = 217,56

14,76 * 14,76 = 217,85

14,77 * 14,77 = 218,15

Portanto, o melhor valor para a raiz quadrada de v218 é 14,76.

O número mais indicado de aproximação vai depender bastante do exercício. Alguns podem pedir uma casa decimal, outros acima de duas. É possível até que o enunciado dê esses valores em alguns casos. O importante é que você saiba calcular.

Aprender as operações e os cálculos básicos da matemática é fundamental para você desenvolver o conhecimento para problemas maiores. Para te ajudar com os estudos, separamos mais alguns posts como sugestão para as próximas revisões:

Como calcular probabilidades?

Como calcular porcentagem de forma fácil?

Como calcular seno, cosseno e tangente?

Conheça o Coach COC e organize seus estudos!

O aplicativo Coach COC é o seu novo parceiro para os estudos! Ele vai te ajudar a organizar sua rotina e planejar seu dia a dia. Acesse a página do app e baixe agora mesmo!

1. Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo, 79.529.789.182,47897{\displaystyle 79.529.789.182,47897}

   se torna 7/95/20/78/91/82,/47/89/70{\displaystyle 7/95/20/78/91/82,/47/89/70}
   . Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.
   • Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de 780,14{\displaystyle 780,14}
     . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva 7/80,/14{\displaystyle 7/80,/14}
     na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta (780,14{\displaystyle {\sqrt {780,14}}}
     ) na região direita superior.

2. Descubra qual é o maior n{\displaystyle n}

   inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por n{\displaystyle n}. Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.
   • No exemplo, a porção mais à esquerda é o número 7{\displaystyle 7}
     . Como se sabe que 22=4≤7<32=9{\displaystyle 2^{2}=4\leq 7<3^{2}=9}
     , é possível afirmar que n=2{\displaystyle n=2}
     , uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a 7{\displaystyle 7}. Escreva 2{\displaystyle 2}
     no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva 4{\displaystyle 4}
     (quadrado de 2{\displaystyle 2}) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.

3. Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.

   • No exemplo, um 4{\displaystyle 4} será colocado abaixo do 7{\displaystyle 7} a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a 3{\displaystyle 3}
     .

4. Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por 2{\displaystyle 2} e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo: ___×___={\displaystyle \_\_\_\times \_\_\_=}

   .
   • No exemplo, o próximo par à disposição é 80{\displaystyle 80}
     . basta observá-lo próximo ao 3{\displaystyle 3} do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por 2{\displaystyle 2} e obtenha 2{\displaystyle 2}, de modo que 2×2=4{\displaystyle 2\times 2=4}
     . Escreva 4{\displaystyle 4} no canto direito inferior, seguido por ___×___=___{\displaystyle \_\_\_\times \_\_\_=\_\_\_}
     .

5. Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.

   • No exemplo, preencher os espaços em branco com 8{\displaystyle 8}
     dá como resultado: 4(8)×8=48×8=384{\displaystyle 4(8)\times 8=48\times 8=384}
     . Esse é um valor maior que 380{\displaystyle 380}
     . Dessa forma, 8{\displaystyle 8} é grande demais, mas 7{\displaystyle 7} provavelmente servirá. Escreva 7{\displaystyle 7} nos espaços em branco e prossiga: 4(7)×7=329{\displaystyle 4(7)\times 7=329}
     . Confirma-se que ele atende à necessidade porque 329≤380{\displaystyle 329\leq 380}
     , então escreva o número 7{\displaystyle 7} no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de 780,14{\displaystyle 780,14}.

6. Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.

   • No exemplo, 329{\displaystyle 329}
     será subtraído de 380{\displaystyle 380}, resultando em 51{\displaystyle 51}
     .

7. Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por 2{\displaystyle 2} e escreva a operação em branco (___×___{\displaystyle \_\_\_\times \_\_\_}

   ) como previamente.
   • No exemplo, como a vírgula de 780,14{\displaystyle 780,14} está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (14{\displaystyle 14}
     ) no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por 2{\displaystyle 2} o valor no topo direito (27{\displaystyle 27}
     ), obtém-se 54{\displaystyle 54}
     — escreva 54___={\displaystyle 54\_\_\_=}
     no quadrante direito inferior.

8. Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.

   • No exemplo, 549×9=4.941{\displaystyle 549\times 9=4.941}
     , que é menor ou igual ao número à esquerda (5.114{\displaystyle 5.114}
     ). Observando-se que 549×10=5.490{\displaystyle 549\times 10=5.490}
     , que é alto demais, você chega à conclusão de que 9{\displaystyle 9}
     é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda: 5.114−4.941=173{\displaystyle 5.114-4.941=173}
     .

9. Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.

Entendendo o processo

1. Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área S{\displaystyle S}

   de um quadrado. Como essa área tem por fórmula L2{\displaystyle L^{2}}
   , onde L{\displaystyle L}
   representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento L{\displaystyle L} do quadrado em questão.

2. Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável A{\displaystyle A}

   como sendo a primeira casa decimal de L{\displaystyle L} (raiz quadrada que está sendo calculada), B{\displaystyle B}
   como sendo a segunda, C{\displaystyle C}
   como sendo a terceira e assim por diante.

3. Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável Sa{\displaystyle S_{a}}

   ao primeiro par de casas decimais em S{\displaystyle S} (valor inicial), Sb{\displaystyle S_{b}}
   ao segundo par de casas decimais e assim por diante.

4. Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).

5. Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a Sa{\displaystyle S_{a}}. A primeira casa decimal A{\displaystyle A} na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede Sa{\displaystyle S_{a}} (de modo que A2≤Sa<(A+1)2{\displaystyle A^{2}\leq S_{a}<(A+1)^{2}}

   ). No exemplo, Sa=7{\displaystyle S_{a}=7}
   e 22≤7<32{\displaystyle 2^{2}\leq 7<3^{2}}
   , de modo que A=2{\displaystyle A=2}
   .
   • Em um exemplo, se você quisesse dividir 88.962{\displaystyle 88.962}
     por 7{\displaystyle 7} através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito (8{\displaystyle 8}) e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por 7{\displaystyle 7}, resultaria em algo menor ou igual a 8{\displaystyle 8}. Basicamente, trata-se de encontrar d{\displaystyle d}
     de modo que 7×d≤8<7×(d+1){\displaystyle 7\times d\leq 8<7\times (d+1)}
     . Nesse caso, d{\displaystyle d} seria igual a 1{\displaystyle 1}
     .

6. Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por L{\displaystyle L}, que descreve o comprimento de um quadrado de área S{\displaystyle S} (número inicial). Os valores para A{\displaystyle A}, B{\displaystyle B} e C{\displaystyle C} representam as casas decimais presentes em L{\displaystyle L}. Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais 10A+B=L{\displaystyle 10A+B=L}

   , no caso de uma resposta com três casas decimais 100A+10B+C=L{\displaystyle 100A+10B+C=L}
   e assim por diante.
   • No exemplo, (10A+b)2=L2=S=100A2+2×10A×B+B2{\displaystyle (10A+b)^{2}=L^{2}=S=100A^{2}+2\times 10A\times B+B^{2}}
     . Lembre-se de que 10A+B{\displaystyle 10A+B}
     representa a resposta L{\displaystyle L} com A{\displaystyle A} na casa das unidades e A{\displaystyle A} na casa das dezenas. Tomando-se A=1{\displaystyle A=1}
     e B=2{\displaystyle B=2}
     como exemplo, 10A+B{\displaystyle 10A+B} resultará no número 12{\displaystyle 12}
     . Se (10A+B)2{\displaystyle (10A+B)^{2}}
     representa a área do quadrado, 100A2{\displaystyle 100A^{2}}
     representa a área do maior quadrado interno, B2{\displaystyle B^{2}}
     representa a área do menor quadrado interno e 10A×B{\displaystyle 10A\times B}
     representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.

7. Subtraia A2{\displaystyle A^{2}}

   de Sa{\displaystyle S_{a}}. Desça um par (Sb{\displaystyle S_{b}}) de casas decimais de S{\displaystyle S}. A expressão SaSb{\displaystyle S_{a}S_{b}}
   representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo N1{\displaystyle N_{1}}
   obtido no Passo 4 (N1=380{\displaystyle N_{1}=380}
   no exemplo supracitado). Aqui, N1=2×10A×B+B2{\displaystyle N_{1}=2\times 10A\times B+B^{2}}
   (área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).

8. Procure por N1=2×10A×B+B2{\displaystyle N_{1}=2\times 10A\times B+B^{2}}, também escrito como N1=(2×10A+B)×B{\displaystyle N_{1}=(2\times 10A+B)\times B}

   . No exemplo, você já conhece N1{\displaystyle N_{1}} (380{\displaystyle 380}) e A{\displaystyle A} (2{\displaystyle 2}), sendo agora necessário calcular o valor de B{\displaystyle B}. Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição (2×10A+B)×B≤N1{\displaystyle (2\times 10A+B)\times B\leq N_{1}}
   . Por fim, você restará com N1<[2×10A+(B+1)]×(B+1){\displaystyle N_{1}<{[2\times 10A+(B+1)]\times (B+1)}}
   .

9. Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique A{\displaystyle A} por 2{\displaystyle 2}, mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por 10{\displaystyle 10}

   ), coloque B{\displaystyle B} na posição das unidades e multiplique o resultado por B{\displaystyle B}. Em outras palavras, basta realizar a operação (2×10A+B)×B{\displaystyle (2\times 10A+B)\times B}
   . Ela é a mesma que se realiza ao se escrever N___×___={\displaystyle N\_\_\_\times \_\_\_=}
   (sendo N=2×A{\displaystyle N=2\times A}
   ) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de B{\displaystyle B} que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição (2×10A+B)×B≤N1{\displaystyle (2\times 10A+B)\times B\leq N_{1}}.

10. Subtraia a área (2×10A+B)×B{\displaystyle (2\times 10A+B)\times B} da área total. Isso dá como resultado a área S−(10A+B)2{\displaystyle S-(10A+B)^{2}}

    até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).

11. Para calcular a próxima casa decimal C{\displaystyle C}, simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (Sc{\displaystyle S_{c}}

    ) de S{\displaystyle S} a fim de obter N2{\displaystyle N_{2}}
    à esquerda e procure pelo maior valor de C{\displaystyle C} que satisfaça à condição [2×10(10A+B)+C]×C≤N2{\displaystyle [2\times 10(10A+B)+C]\times C\leq N_{2}}
    (equivalente a escrever duas vezes o valor A B{\displaystyle A\ B}
    com duas casas decimais acompanhado por ___×___={\displaystyle \_\_\_\times \_\_\_=}. Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a N2{\displaystyle N_{2}}, assim como antes.