Adição de monômios e polinômios

1. 1. MONÓMIOS E POLINÓMIOS
2. 2. Problema: Observa as figuras. 6 x-9 6 x–4 Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo. Resolução: Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo podemos formar a seguinte equação: x  9x  4  36 No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efetuar. Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
3. 3. POLINÓMIOS 1 2a  3  x6 2 2x2  3 7x  4 y  4y  3 2 Exemplos de várias expressões algébricas. Uma expressão algébrica é constituída por um ou mais termos.
4. 4. No polinómio y  4y  3 2 , às parcelas, y 2,  4 y e 3 chamam-se termos ou monómios. Um polinómio é uma soma algébrica de pelo menos dois monómios.. Exemplos: y2  4 y Binómio, porque é constituído por dois monómios. 4 x 2  4 x  30 Trinómios cada expressão é constituído por 3 monómios 7 y 2  4 xy  7 xy
5. 5. Curiosidade: MONÓMIOS Monómio é uma palavra de origem grega, derivada de monos, que significa único. Monómio significa único termo. Um monómio é uma expressão que pode ser constituída por um número ou por um produto de números em que alguns podem ser representados por letras. Exemplos: 23x M3 y x  -xy 4 6 NOTA y 1 1   y y 4 4 4 Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.
6. 6. Constituição de um monómio Exemplo: -7 y3 Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e uma parte literal (y3). Exercício: Completa a tabela seguinte: Monómio Coeficiente Parte literal x 1 x  10 __ 10 z 1   z 6 6 5 yz yz 5 89xyz  89 xyz
7. 7. Como escrever corretamente um monómio? Exemplo I a x x A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão: 2 x  a mas deve escrever-se: 2ax Exemplo II Observa a figura: x 7x  2x = 14x2 Qual a sua área? x
8. 8. O produto de dois monómios é outro monómio cujo coeficiente é o produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes literais. Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monómio) escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética. Por exemplo: Monómio Escrita correta x 5  y 5 xy 5 b  a  3 15ab  3  q   2 p 6 pq 3  a 2  b   2 a  b  6a3b 2
9. 9. Grau de um monómio 6 grau 0 6a grau 1 2 6a grau 2 6a 3 grau 3 3 6a b grau 4 5 2 6a b grau 7 Então, como se determina o grau de um monómio? O grau de um monómio é igual à soma dos expoentes das letras que nele figuram (à soma dos expoentes da parte literal).
10. 10. Exercício: Completa a tabela: Monómios 8 7 xy  23x 2 y 3 7 x4 y 3 Grau 2 5 0 5
11. 11. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 41 (volume 2) TPC- terminar os exercícios não realizados na aula e tarefa 1 da página 38.
12. 12. OPERAÇÕES COM POLINÓMIOS
13. 13. Adição algébrica de polinómios Tal como na aritmética, também é possível simplificar expressões algébricas quando estas têm termos semelhantes. Aritmética Álgebra 3 + 3 + 3 + 3 = 43 a + a + a + a =4a = 4a 54 + 64 = 114 5a + 6a = 11a 37 + 27 + 47 = 97 3a + 2a + 4a = 9a Para se obter a soma polinómios basta adicionar os termos semelhantes.
14. 14. Exemplos: Processo: 1. O polinómio Algoritmo 6 x 4  7 x  9  4 x  6 x 4  3x  9 Polinómio reduzido porque não tem termos semelhantes 2. Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios: 6 x  7 y  9 x  4 y  12  4 4 6 y3  2 y  5   7 y 3  y 2  3 y  10    15x  3 y  12 4 Simplificar um polinómio é reduzir os termos semelhantes
15. 15. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 43
16. 16. Produto de um monómio por um polinómio
17. 17. a c A área é dada pela expressão: b ab bc ba  c   b  a  b  c   ab  bc Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, área do maior rectângulo da figura? b c b b2 bc b 2  bc Repara: b b  c   b  b  b  c   b 2  bc
18. 18. Para multiplicar um monómio por um polinómio, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se o monómio por cada um dos termos do polinómio.  2 3x  3  x 1  6x  6  2 x  2
19. 19. Monómios semelhantes Considera o seguinte polinómio: 6x  7 x  9  4x 4 este polinómio é constituído por 4 monómios 6x 4 ,7 x ,  4 x e 9. Os monómios 7x e  4x são semelhantes. Mais exemplos: 4 y 2 e 56 y 2 887xy z 2 e 4xy z 2  4y e 19 y Conseguirás chegar à definição de monómios semelhantes? Monómios semelhantes - são monómios que têm a mesma parte literal. Os monómios  4x e 6x 4 não são semelhantes porque não têm a mesma parte literal.
20. 20. Monómios simétricos - são monómios com a mesma parte literal e coeficientes simétricos. 19y e 19 y Grau de um polinómio Consideremos o polinómios e o respetivo grau. 6 x 4  5x 2  1 O grau deste polinómio é 4 x y  x 9 5 5 Grau 6 x3  1 Grau 3 Definição: Chama-se grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que o constituem. x  43 x 3 grau 3 grau 1 POLINÓMIO DE GRAU 3
21. 21. Multiplicação de polinómios
22. 22. A figura representa um rectângulo. x+8 x+2 A expressão que representa a sua área é: x  8x  2 Multiplicação de dois polinómios Para multiplicar dois polinómios também se aplica a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
23. 23. x  8x  2 1.º processo: 2.º processo: x  8x  2  xx  2  8x  2   x 2  2 x  8 x  16   x 2  10 x  16 x  8x  2  x  2x  8x  16  2 x  10 x  16 2  x  10 x  16 2 Polinómio reduzido Para multiplicar polinómios, multiplica-se cada termo de um, por todos os termos do outro, obtendo-se assim um novo polinómio. Expressão que representa a área do rectângulo dado. 3.º processo: Algoritmo
24. 24. Exercício: Transforma num polinómio reduzido: 3x  2 x  5 Se tivermos dois polínómios de graus 2 e 4 então a multiplicação desses polínómios dará um polinómio de grau 6  1  y   2 x  6  2    2 x 2  3x 4  10 x3  2 2 1   1   y   10 0,4 y  y 2  3   3   2 1  x   x  2 x     1  4  2  x  53x  1  2x2  3
25. 25. OBSERVAÇÃO:  3x 2  2   x  5  3x  15x  2 x  10 4 6 2 4 Polinómio de grau 2 Polinómio de grau 4 Polinómio de grau 6 A multiplicação de um polinómio de grau 2 por um polinómio de grau 4 é um polinómio de grau 6. grau  P  Q   grau  P   grau Q   1  y   2 x  6  2
26. 26. Consolidação dos conhecimentos Exercícios da página 47 e 49 TPC- terminar os exercícios não realizados na aula

As operações de adição e subtração de polinômios requerem a utilização de jogos de sinais, redução de termos semelhantes e o reconhecimento do grau do polinômio. A compreensão dessas operações é fundamental para o aprofundamento dos estudos futuros sobre polinômios. Vejamos como são realizadas as operações de adição e subtração com exemplos.

Adição de Polinômios.

Exemplo 1. Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 e Q(x) = x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12. Calcule P(x) + Q(x).

P(x) + Q(x) = (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + ( x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12)

Exemplo 2. Considere os polinômios:

A(x) = – 9x3 + 12x2 – 5x + 7

A(x) + B(x) + C(x) = (– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + (8x2 + x – 9) + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2)

Subtração de Polinômios.

Exemplo 3. Considere os polinômios:

P(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11

P(x) – Q(x) = (10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11) – (– 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15)

Exemplo 4. Dados os polinômios:

A(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7

A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 2x2 – 3x + 7) + (5x3 + 3x2 – 2x + 1) – (6x3 + 5x2 – 5x + 8)

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Monômios são expressões algébricas que possuem multiplicações entre números e incógnitas (letras que representam algum número desconhecido). Assim, uma expressão não é monômio quando apresenta pelo menos uma adição ou subtração ou ainda quando possui alguma divisão por incógnita. Lembre-se: nos monômios, as incógnitas sempre ficam no numerador.

Assim, não podem ser consideradas monômios as expressões seguintes:

2x + 2y

2xy
4a

Os resultados de algumas adições algébricas ou frações que possuam incógnita podem tornar-se monômios após o processo de simplificação.

Monômios semelhantes

Todo monômio é dividido em duas partes: parte literal e coeficiente. A primeira diz respeito a todas as incógnitas que fazem parte desse monômio, incluindo seus expoentes. A segunda diz respeito ao número que está multiplicando a parte literal. Portanto, tendo o monômio abaixo como exemplo, separaremos sua parte literal e coeficiente.

1xy3a4
4        

A parte literal desse monômio é xy3a4 e o coeficiente é 1/4.

Dizemos que dois monômios são semelhantes quando possuem parte literal igual, até mesmo os expoentes. Observe abaixo um monômio semelhante ao anterior:

7xy3a4

Observe que ambos diferem apenas no coeficiente. Agora, olhe um exemplo de monômio que parece semelhante a esses dois últimos, mas não é:

3xy3a3

Não é semelhante porque o expoente da incógnita a é diferente.

Adição e subtração algébrica de monômios

Dois monômios só podem ser somados ou subtraídos algebricamente se forem semelhantes, ou seja, se suas partes literais forem iguais.

A adição desses dois monômios deve ser feita da seguinte maneira: some os coeficientes e repita a parte literal. Por exemplo:

4xy + 16xy = 20xy

45kb2c – 15kb2c = 30kb2c

Para a adição de monômios, valem todas as propriedades da adição de números reais: comutativa, associativa, elemento neutro e elemento inverso.

Multiplicação de monômios

Diferentemente da adição, deve ser feita tanto com a parte literal como com o coeficiente. Para realizá-la, proceda da seguinte maneira:

1 – multiplique os coeficientes;

2 – procure as incógnitas que aparecem nos dois fatores que estão sendo multiplicados, some seus expoentes e coloque-as no resultado;

3 – as incógnitas que aparecem em apenas um fator devem ser repetidas no resultado.

Por exemplo:

4xy2k3b·2xy3k6

4·2x1 + 1y2 + 3k3 + 6b

8x2y5k9b

Observe que o expoente da incógnita b foi omitido. Sempre que isso acontecer, esse expoente é 1.

Divisão de monômios

A divisão de monômios deve ser feita de maneira parecida com a multiplicação. Divida os coeficientes (ou os escreva como uma fração) e subtraia os expoentes das incógnitas que se repetem em ambos os fatores divisivos. Por exemplo, a divisão 4xy6k3b:2xy3k6 será escrita em forma de fração para facilitar a visualização.

4xy6k3b
2xy3k6

2x1 – 1y6 – 3k3 – 6b

2x0y6k– 6b

2y6k– 6b

Esse resultado também pode ser escrito na forma abaixo por meio das propriedades de potência (que podem ser encontradas em duas partes: parte 1 e parte 2)

2y6b
k – 6

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Videoaula relacionada: