A soma de dois cubos, a3 + b3, é igual ao produto do fator (a + b) pelo fator (a2 – ab + b2).
a3 + b3 = (a + b) . (a2 - ab + b2) |
Observe a justificativa
2. Diferença de cubos
A diferença entre dois cubos, a3 - b3, é igual ao produto do fator (a - b) pelo fator (a2 + ab + b2).
a3 - b3 = (a - b) . (a2 + ab + b2) |
Observe a justificativa
3. Cubo da soma
O cubo da soma de duas parcelas, (a + b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, mais três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3 . a2 . b, mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda, 3 . a . b2, mais o cubo da segunda parcela, b3.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 |
Observe a justificativa
4. Cubo da diferença
O cubo da diferença entre duas parcelas, (a - b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, menos três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3 . a2. b, mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda, 3 .a .b2, menos o cubo da segunda parcela, b3.
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 |
Observe a justificativa
Saiba mais Não confunda o cubo da soma, que é (a + b)3, com a soma de cubos que é a3 + b3. Note que: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2) Note, ainda, pelo exemplo numérico, que:(3 + 2)3 = 53 = 125 33 + 23 = 27 + 8 = 35 De modo análogo, não confundir o cubo da diferença com a diferença de cubos. Note que: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2) |
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A resolução de uma equação contendo variáveis consiste em determinar quais valores das variáveis tornam a igualdade verdadeira. As variáveis também são chamadas de incógnitas e os valores das incógnitas que satisfazem a igualdade são chamados de soluções da equação. Sabendo disso, temos que a diferença entre o cubo e a soma de dois números será dada por: Portanto, a alternativa correta é a alternativa C.
\[\eqalign{ & s = {(x + y)^3} \cr & {s_{cubo}} = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \cr & \cr & {(x + y)^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \to {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} \cr & {(x + y)^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \to {x^3} + 3{x^2}.y + 3x.{y^2} + {y^3} - {x^3} - {y^3} \cr & 3{x^2}y - 3x{y^2} = 0 \cr & 3x.x.y = {\text{ }}3.x..y.y \cr & 3.x = 3.y \cr & x - y = 3 + 3 \cr & x - y = 6 }\]
A resolução de uma equação contendo variáveis consiste em determinar quais valores das variáveis tornam a igualdade verdadeira. As variáveis também são chamadas de incógnitas e os valores das incógnitas que satisfazem a igualdade são chamados de soluções da equação.
Sabendo disso, temos que a diferença entre o cubo e a soma de dois números será dada por:
\[\eqalign{ & s = {(x + y)^3} \cr & {s_{cubo}} = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \cr & \cr & {(x + y)^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \to {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} \cr & {(x + y)^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \to {x^3} + 3{x^2}.y + 3x.{y^2} + {y^3} - {x^3} - {y^3} \cr & 3{x^2}y - 3x{y^2} = 0 \cr & 3x.x.y = {\text{ }}3.x..y.y \cr & 3.x = 3.y \cr & x - y = 3 + 3 \cr & x - y = 6 }\]
Portanto, a alternativa correta é a alternativa C.
Resolva exercícios sobre o cubo da soma para aprender a utilizar a regra prática dos produtos notáveis. Questão 1
Resolva a expressão (c + d )3 + (c3 + d3) – 4cd . (c + d).
Questão 2
(FUVEST)
A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Questão 3
Aplicando o cubo da soma, desenvolva as expressões abaixo:
a) (3a + 1)3
b) (x + 2y)3
c) (2z + 3w)6
Questão 4
Escreva a expressão que representa “o cubo da soma de dois números mais 20 unidades” e a desenvolva.
Resposta - Questão 1
Nessa questão, o primeiro parêntese é o cubo da soma de dois termos.
(c + d )3 + (c3 + d3) – 4cd.(c + d) =
= c3 + 3c2d + 3cd2 + d3 + c3 + d3 – 4c2d – 4cd2 =
= 2c3 + 2d3 – 1c2d – 1cd2 =
= 2c3 – 1c2d + 2d3– 1cd2 =
= c2 . (2c – d) + d2 . (2d – c)
Resposta - Questão 2
Para solucionar essa questão devemos interpretar o seu enunciado, faremos isso separando as partes descritas.
Cubo da soma de dois números inteiros → (a + b)3
O cubo é dado pelo número 3, já os dois números inteiros são a e b.
Soma de seus cubos → (a3 + b3)
Dizer “a soma de seus cubos” significa que os termos a e b estarão elevamos ao cubo.
Como já sabemos o que significa as partes do enunciado, devemos escrever a expressão algébrica geral, que será dada pela diferença entre (a + b)3 - (a3 + b3).
Vamos resolver o primeiro parêntese:
Cubo da soma
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Agora devemos reunir a solução obtida com a subtração do segundo parêntese.
(a + b)3 - (a3 + b3) =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - (a3 + b3) =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 - b3 =
= + 3a2b + 3ab2
Supondo que a e b sejam iguais a 1, então a soma será:
+ 3a2b + 3ab2 = 3 . 12 . 1 + 3 . 1 . 12 = 3 + 3 = 6
A alternativa certa é a letra c.
Resposta - Questão 3
a) (3a + 1)3 =
= (3a)3 + 3. (3a)2 . 1 + 3 . 3a . (1)2 + (1)3 =
= 27a3 + 27a2 + 9a + 1
b) (x + 2y)3 =
= (x)3 + 3 . (x)2 . 2Y + 3 . x . (2y)2 + (2y)3 =
= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
c) (2z + 3w)6 =
= (2z + 3w)3 . (2z + 3w)3 =
= (2z)3 + 3 . (2z)2 . 3W + 3 . 2z . (3w)2 + (3w)3 +[(2z)3 + 3 . (2z)2 . 3W + 3 . 2z . (3w)2 + (3w)3] =
= 8z3 + 36z2w + 54zw2 + 27w3 + 8z3 + 36z2w + 54zw2 + 27w3 =
= 16z3 + 72z2w + 108zw2 + 54w3
Resposta - Questão 4
Nesse exercício teremos que interpretar o seu enunciado.
Dois números = a, b
Cubo da soma de dois números = (a + b)3
Cubo da soma de dois números mais 20 unidades = (a + b)3 + 20
(a + b)3 + 20=
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 20
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