A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:

A soma de dois cubos, a3 + b3, é igual ao produto do fator (a + b) pelo fator (a2 – ab + b2).

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2. Diferença de cubos
3. Cubo da soma
4. Cubo da diferença

a3 + b3 = (a + b) . (a2 - ab + b2)

Observe a justificativa

2. Diferença de cubos

A diferença entre dois cubos, a3 - b3, é igual ao produto do fator (a - b) pelo fator (a2 + ab + b2).

a3 - b3 = (a - b) . (a2 + ab + b2)

Observe a justificativa

3. Cubo da soma

O cubo da soma de duas parcelas, (a + b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, mais três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3 . a2 . b, mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda, 3 . a . b2, mais o cubo da segunda parcela, b3.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Observe a justificativa

4. Cubo da diferença

O cubo da diferença entre duas parcelas, (a - b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, menos três vezes o quadrado da primeira pela segunda, 3 . a2. b, mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda, 3 .a .b2, menos o cubo da segunda parcela, b3.

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Observe a justificativa

Saiba mais

Não confunda o cubo da soma, que é (a + b)3, com a soma de cubos que é a3 + b3.

Note que: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)

Note, ainda, pelo exemplo numérico, que:

(3 + 2)3 = 53 = 125

33 + 23 = 27 + 8 = 35

De modo análogo, não confundir o cubo da diferença com a diferença de cubos.

Note que: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)

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Em matemática, uma equação é uma afirmação que afirma a igualdade de duas expressões. A palavra equação e seus cognatos em outras línguas podem ter significados sutilmente diferentes; por exemplo, em francês uma equação é definida como contendo uma ou mais variáveis, enquanto em inglês qualquer igualdade é uma equação.

A resolução de uma equação contendo variáveis consiste em determinar quais valores das variáveis tornam a igualdade verdadeira. As variáveis também são chamadas de incógnitas e os valores das incógnitas que satisfazem a igualdade são chamados de soluções da equação.

Sabendo disso, temos que a diferença entre o cubo e a soma de dois números será dada por:

$\eqalign{ & s = {(x + y)^3} \cr & {s_{cubo}} = \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \cr & \cr & {(x + y)^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \to {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} \cr & {(x + y)^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) \to {x^3} + 3{x^2}.y + 3x.{y^2} + {y^3} - {x^3} - {y^3} \cr & 3{x^2}y - 3x{y^2} = 0 \cr & 3x.x.y = {\text{ }}3.x..y.y \cr & 3.x = 3.y \cr & x - y = 3 + 3 \cr & x - y = 6 }$

Portanto, a alternativa correta é a alternativa C.

Sabendo disso, temos que a diferença entre o cubo e a soma de dois números será dada por:

Portanto, a alternativa correta é a alternativa C.

Resolva exercícios sobre o cubo da soma para aprender a utilizar a regra prática dos produtos notáveis.

Questão 1

Resolva a expressão (c + d )3 + (c3 + d3) – 4cd . (c + d).

Questão 2

(FUVEST)

A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Questão 3

Aplicando o cubo da soma, desenvolva as expressões abaixo:

a) (3a + 1)3

b) (x + 2y)3

c) (2z + 3w)6

Questão 4

Escreva a expressão que representa “o cubo da soma de dois números mais 20 unidades” e a desenvolva.

Resposta - Questão 1

Nessa questão, o primeiro parêntese é o cubo da soma de dois termos.

(c + d )3 + (c3 + d3) – 4cd.(c + d) =

= c3 + 3c2d + 3cd2 + d3 + c3 + d3 – 4c2d – 4cd2 =

= 2c3 + 2d3 – 1c2d – 1cd2 =

= 2c3 – 1c2d + 2d3– 1cd2 =

= c2 . (2c – d) + d2 . (2d – c)

Resposta - Questão 2

Para solucionar essa questão devemos interpretar o seu enunciado, faremos isso separando as partes descritas.

Cubo da soma de dois números inteiros → (a + b)3
O cubo é dado pelo número 3, já os dois números inteiros são a e b.

Soma de seus cubos → (a3 + b3)
Dizer “a soma de seus cubos” significa que os termos a e b estarão elevamos ao cubo.

Como já sabemos o que significa as partes do enunciado, devemos escrever a expressão algébrica geral, que será dada pela diferença entre (a + b)3 - (a3 + b3).

Vamos resolver o primeiro parêntese:

Cubo da soma

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Agora devemos reunir a solução obtida com a subtração do segundo parêntese.

(a + b)3 - (a3 + b3) =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - (a3 + b3) =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - a3 - b3 =

= + 3a2b + 3ab2

Supondo que a e b sejam iguais a 1, então a soma será:

+ 3a2b + 3ab2 = 3 . 12 . 1 + 3 . 1 . 12 = 3 + 3 = 6

A alternativa certa é a letra c.

Resposta - Questão 3

a) (3a + 1)3 =
= (3a)3 + 3. (3a)2 . 1 + 3 . 3a . (1)2 + (1)3 =
= 27a3 + 27a2 + 9a + 1

b) (x + 2y)3 =
= (x)3 + 3 . (x)2 . 2Y + 3 . x . (2y)2 + (2y)3 =
= x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

c) (2z + 3w)6 =
= (2z + 3w)3 . (2z + 3w)3 =
= (2z)3 + 3 . (2z)2 . 3W + 3 . 2z . (3w)2 + (3w)3 +[(2z)3 + 3 . (2z)2 . 3W + 3 . 2z . (3w)2 + (3w)3] =
= 8z3 + 36z2w + 54zw2 + 27w3 + 8z3 + 36z2w + 54zw2 + 27w3 =
= 16z3 + 72z2w + 108zw2 + 54w3

Resposta - Questão 4

Nesse exercício teremos que interpretar o seu enunciado.

Dois números = a, b

Cubo da soma de dois números = (a + b)3

Cubo da soma de dois números mais 20 unidades = (a + b)3 + 20

(a + b)3 + 20=

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + 20

Cubo da Soma

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